Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
и
C
произвольная гладкая линия, лежащая в этой области , с началом в точке
0
z
и концом в точке
Z
(рис.3).
Рис. 3.
Разобьем дугу Zz
0
линии
C
на произвольное число
n
частичных дуг с
помощью точек Zzzzzz
n
n
=
−
,,...,,,
1
2
1
0
, расположенных последовательно в
положительном направлении линии
C
. Каждой частичной дуге приведем в
соответствие число
,
k
k
zzf
∆
полученное от умножения значения данной
функции в левом конце этой дуги на соответствующее этой дуге приращение
k
z
∆
переменного
k
k
k
zzzz
−
=
∆
+
1
: . Составим далее сумму всех таких
произведений, распространив ее на все частичные дуги:
()
∑
−
=
=
∆
1
0
nk
k
kk
zzf
. (1.3)
Заставляя максимум длин всех частичных дуг стремиться к нулю ,
докажем , что выражение (1.3) стремится к определенному конечному пределу,
не зависящему от того закона, по которому все частичные дуги стремятся к
нулю . С этой целью, введя обозначения
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
ivuy,xivy,xuzf,iyxz
+
=
+
=
+
=
k
k
k
yixz
∆
+
∆
=
∆
,
представим выражение (1.3) в виде
()()()
∑∑
=++=
−
=
=
−
=
=
1
0
1
0
nk
k
nk
k
kkkkkk
yixivuzzf ∆∆
()()
∑∑
−
=
=
−
=
=
∆+∆+∆−∆=
1
0
1
0
nk
k
nk
k
kkkkkkkk
yuxviyvxu . (1.4)
Заставляя максимум длин всех частичных дуг стремиться к нулю , мы
видим, что обе суммы правой части последнего равенства (1.4) стремятся
соответственно к пределам
∫
−
C
vdyudx
и
∫
+
C
udyvdxi
;
Z
0
z
1
z
2
z
1
−
n
z
                                                         12
и C прои зволь ная г лад кая ли ни я, леж ащая в этой области , сначалом в точке z0
и концом в точке Z (ри с.3).




                                                              Z
                                                       z n −1
                          z1          z2
                  z0




                           Ри с. 3.
      Разобь ем д уг у z0 Z ли ни и C на прои зволь ное чи сло n части чны х д уг с
помощь ю точек z0 , z1, z2 ,..., zn −1, zn = Z , располож енны х послед ователь но в
полож и тель ном направлени и ли ни и C . Каж д ой части чной д уг е при вед ем в
соответстви е чи сло f ( zk )∆zk , полученное от умнож ени я значени я д анной
ф ункци и в левом конце этой д уг и на соответствующее этой д уг е при ращени е
∆zk переменног о z : ∆zk = zk +1 − zk . С остави м д алее сумму всех таки х
прои звед ени й, распространи в еена всечасти чны ед уг и :
                              k = n −1
                                ∑ f ( z k )∆z k .                                        (1.3)
                               k =0
      Заставляя макси мум д ли н всех части чны х д уг стреми ть ся к нулю,
д окаж ем, что вы раж ени е (1.3) стреми тся копред еленному конечному пред елу,
не зави сящему от тог о закона, по которому все части чны е д уг и стремятся к
нулю. С этой цель ю, введ я обозначени я
                       z k = x k + iy k , f (z k ) = u (xk , y k ) + iv( xk , y k ) = u k + ivk
                       ∆zk = ∆xk + i∆yk ,
пред стави м вы раж ени е(1.3) в ви д е
                          k = n −1                     k = n −1
                               ∑      f ( z k )z k =     ∑ (u k + ivk )(∆xk + i∆yk ) =
                             k =0                       k =0
                       k = n −1                                 k = n −1
                    = ∑         (uk ∆xk − vk ∆yk ) + i ∑ (vk ∆xk + uk ∆yk ) .            (1.4)
                        k =0                                      k =0
        Заставляя макси мум д ли н всех части чны хд уг стреми ть ся кнулю, мы
ви д и м, что обесуммы правой части послед нег о равенства (1.4) стремятся
соответственно кпред елам
                       ∫ udx − vdy и i ∫ vdx + udy ;
                          C                      C

Страницы