Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
то этот предел называется производной функции
)
(
z
f
по комплексной
переменной
z
в точке
0
z и обозначается
(
)
0
'
zf , т .е.
()
(
)
(
)
z
zfzzf
zf
z
∆
−
+
=
→∆
00
0
0
'
lim . (1.1)
Функция
)
(
z
f
в этом случае называется дифференцируемой в точке
0
z .
Если существует предел (1.1), то он не зависит от способа стремления
z
к
нулю , т.е. от способа приближения точки
zz
+
0
к точке
0
z
.
Теорема. Если функция
(
)
(
)
(
)
yxivyxuzf ,,
+
=
дифференцируема в точке
0
0
0
iyxz
+
=
, то в точке
(
)
0
0
, yx существуют частные производные функций
(
)
yxu , и
(
)
yxv , по переменным
y
x
,
, причем имеют место соотношения
(
)
(
)
(
)
(
)
x
yxv
y
yxu
y
yxv
x
yxu
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
00000000
,,
,
,,
. (1.2)
Эти соотношения называются соотношениями Коши -Римана.
Доказательство:
Пусть
x
z
=
, тогда
()
(
)
(
)
(
)
(
)
=
∆
+
−
∆
+
+
+
=
′
→∆
)
,,,,
(lim
0
0
x
yxivyxu
x
yxxivyxxu
zf
x
(
)
(
)
(
)
(
)
=
∆
−
+
+
∆
−
+
=
→∆→∆
x
yxvyxxv
i
x
yxuyxxu
xx
,,
lim
,,
lim
00
(
)
(
)
yxivyxu
x
x
,,
''
+=
Полагая
,
y
i
z
=
находим
()
(
)
(
)
(
)
(
)
=
∆
−
+
+
∆
−
+
=
→∆→∆
yi
yxvyyxv
i
yi
yxuyyxu
zf
yy
,,
lim
,,
lim
00
0
'
(
)
(
)
(
)
(
)
yxiuyxvyxvyxiu
yyyy
,,,,
''''
−=+=
.
Убеждаемся в справедливости условий (1.2), сравнивая формулы для
(
)
0
'
zf .
Теорема. Если в точке
(
)
0
0
, yx
функции
(
)
yxu ,
и
(
)
yxv ,
дифференцируемы,
a
их частные производные связаны соотношениями (1.2),
то функция
(
)
(
)
(
)
yxivyxuzf ,,
+
=
является дифференцируемой функцией
комплексной переменной
z
в точке
0
0
0
iyxz
+
=
.
Доказательство:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,,,,,,
00000000
yxyyxuxyxuyxuyyxxu
yx
ξ
+
+
=
−
+
+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,,,,,,
00000000
yxyyxvxyxvyxvyyxxv
yx
η
+
+
=
−
+
+
(
)
0
,0
,
lim
→∆
=
∆
z
z
yx
ξ
(
)
0
0
,
lim
→∆
=
∆
z
z
yx
η
,
()()
22
yxz ∆+∆=∆
.
Рассмотрим разностное отношение 
                                                             10
т о эт от        предел н азы вает ся прои зводн ой ф ун к ци и                              f (z ) по к ом плек сн ой
перем ен н ой z в т оч к е z0 и обозн ач ает ся f ' ( z0 ) , т .е.
                                                     f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 )
                                   f ' (z0 ) = lim                            .                     (1.1)
                                              ∆z → 0           ∆z
          Ф ункци я f (z ) в этом случаеназы вается д и ф ф еренци руемой в точке z0 .
Е сли существуетпред ел(1.1), то он незави си тотспособа стремлени я ∆z к
нулю, т.е. отспособа при бли ж ени я точки z0 + ∆z кточке z0 .
          Тео р ем а. Если ф ун к ци я f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) ди ф ф ерен ци руем а в т оч к е
 z0 = x0 + iy0 , т о в т оч к е(x0 , y0 ) сущест вуют ч аст н ы епрои зводн ы еф ун к ци й
u ( x, y ) и v( x, y ) по перем ен н ы м x, y , при ч ем и м еют м ест о соот н ош ен и я
                          ∂u (x0 , y0 ) ∂v(x0 , y0 ) ∂u ( x0 , y0 )               ∂v( x0 , y0 )
                                         =               ,                  =−                  .   (1.2)
                              ∂x                ∂y                ∂y                   ∂x
          Э ти соотношени я назы ваются соотношени ями Коши -Ри мана.
          Док азат ельст во:
          П усть ∆z = ∆x , тог д а
                    u ( x + ∆x, y ) + iv( x + ∆x, y ) u ( x, y ) + iv( x, y )
 f ′( z0 ) = lim (                                      −                       )=
            ∆x → 0                   ∆x                           ∆x
            u ( x + ∆x, y ) − u ( x, y )            v( x + ∆x, y ) − v( x, y )
= lim                                    + i lim                                =
   ∆x → 0               ∆x                   ∆x → 0            ∆x
= u x' ( x, y ) + iv 'x ( x, y )
            П олаг ая ∆z = i∆y, наход и м
                                   u ( x , y + ∆y ) − u ( x , y )           v ( x , y + ∆y ) − v ( x , y )
               f ' ( z 0 ) = lim                                  + i lim                                  =
                            ∆y → 0             i ∆y                  ∆y → 0             i∆y
                              = iu 'y ( x, y ) + v 'y ( x, y ) = v 'y ( x, y ) − iu 'y ( x, y ) .
У беж д аемся в справед ли вости услови й (1.2), сравни вая ф ормулы д ля f ' ( z0 ) .
       Тео р ем а. Если в т оч к е ( x0 , y0 ) ф ун к ци и u ( x, y ) и v( x, y )
ди ф ф ерен ци руем ы , a и хч аст н ы епрои зводн ы есвязан ы соот н ош ен и ям и (1.2),
т о ф ун к ци я f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) являет ся ди ф ф ерен ци руем ой ф ун к ци ей
к ом плек сн ой перем ен н ой z в т оч к е z0 = x0 + iy0 .
       Док азат ельст во:
        u ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − u ( x0 , y0 ) = u x ( x0 , y0 )∆x + u y ( x0 , y0 )∆y + ξ ( x, y ),
              v( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − v( x0 , y0 ) = v x ( x0 , y0 )∆x + v y ( x0 , y0 )∆y + η ( x, y ),
                    ξ ( x, y )          η ( x, y )
              lim              = 0, lim            = 0 , ∆z =           (∆x )2 + (∆y )2 .
                       ∆z                  ∆z
                     ∆z →0                  ∆z →0
           Рассмотри м разностноеотношени е

Страницы