Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
(
)
(
)
()
()
()()
()()
()
z
z
yxivyxu
yix
yxiyx
yix
yxi
yxv
yix
yix
yxu
z
zfzzf
xx
x
x
∆
++=
=
∆+∆
+
+
∆+∆
∆−∆
+
+
∆+∆
∆
+
∆
=
∆
−
∆
+
ζ
ηξ
0000
00
00
00
,,
,,
,
,
(
)
(
)
(
)
(
)
yxiyxz ,,
η
ξ
ζ
+
=
.
При
→
∆
z
существует
(
)
(
)
()
0
'
00
0
lim zf
z
zfzzf
z
=
∆
−
∆
+
→∆
.
Определение Если функция
(
)
zf
дифференцируема во всех точках некоторой
области
D
, то функция
(
)
zf называется аналитической функцией в
области
D
.
Свойства аналитических функций.
1. Если
(
)
1
zf и
(
)
2
zf аналитические функции в области
D
, то их сумма
и произведение являются аналитическими функциями в области
D
, а функция
(
)
()
zf
zf
z
2
1
)( =ϕ является аналитической всюду, где
(
)
0
2
≠
zf
2.Если
(
)
zfw
=
является аналитической функцией в области
D
плоскости
комплексной переменной
z
, причем в области ее значений на плоскости
w
определена аналитическая функция
(
)
,w
ϕ
ζ
=
то функция
(
)
(
)
[
]
zfzF
ϕ
=
является аналитической функцией комплексной переменной
z
в области
D
.
3. Если в области
D
определена аналитическая функция
(
)
zf , причем
()
0≠zf
'
, то в области
G
значений функции
(
)
zf определена обратная
функция
(
)
,wz
ϕ
=
являющаяся аналитической функцией
w
. При этом если
(
)
,
00
zfw
=
то
()
()
0
'
0
'
1
w
zf
ϕ
= .
1.5 Интеграл по комплексной переменной
Перейдем к определению понятия интеграла в комплексной области .
Пусть
(
)
zfw
=
есть произвольная непрерывная функция комплексной
переменной
z
, определенная в некоторой области
D
плоскости переменной
z
, 
                                                    11
               f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 )                      ∆x + i∆y
                                          = u x ( x0 , y 0 )           +
                          ∆z                                 ∆x + i∆y
                                 i∆x − ∆y ξ ( x, y ) + iη ( x, y )
              + v x ( x0 , y 0 )             +                        =
                                 ∆x + i∆y            ∆x + i∆y
                                                      ζ (z )
              = u x ( x0 , y0 ) + iv x ( x0 , y0 ) +
                                                       ∆z
              (ζ (z ) = ξ (x, y ) + iη (x, y )) .
П ри ∆z → 0 существует
                                   f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 )
                            lim                                = f ' (z0 ) .
                          ∆z → 0               ∆z

Опр еделени е Если ф ун к ци я f ( z ) ди ф ф ерен ци руем а во всехт оч к ахн ек от орой
област и D , т о ф ун к ци я f ( z ) н азы вает ся анали ти ческ о й функ ци ей в
област и D .


        Св о йств а анали ти ческ и х функ ци й.

        1. Е сли f ( z1 ) и f ( z2 ) анали ти чески еф ункци и в области D , то и х сумма
и прои звед ени еявляются анали ти чески ми ф ункци ями в области D , а ф ункци я
          f (z )
ϕ ( z) = 1         является анали ти ческой всюд у, г д е f 2 ( z ) ≠ 0
          f 2 (z )
        2.Е сли w= f ( z ) является анали ти ческой ф ункци ей в области D плоскости
комплексной переменной z , при чем в области еезначени й на плоскости w
опред елена анали ти ческая ф ункци я ζ = ϕ (w), то ф ункци я F ( z ) = ϕ [ f ( z )]
является анали ти ческой ф ункци ей комплексной переменной z в области D .
        3. Е сли в области D опред елена анали ти ческая ф ункци я f ( z ) , при чем
 f ' ( z ) ≠ 0 , то в области G значени й ф ункци и f ( z ) опред елена обратная
ф ункци я z =ϕ (w), являющаяся анали ти ческой ф ункци ей w . П ри этом если
w0 = f ( z0 ), то f ' ( z0 ) = '
                                 1
                                      .
                              ϕ (w0 )



       1.5 И нтегра л по комплексной переменной

      П ерейд ем копред елени ю поняти я и нтег рала в комплексной области .
П усть w = f ( z ) есть прои зволь ная непреры вная ф ункци я комплексной
переменной z , опред еленная в некоторой области D плоскости переменной z ,

Страницы