Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
Эта функция называется обратной функции
)
(
z
f
. Область
G
задания
функции
(
)
w
ϕ
, очевидно , является областью значений функции
)
(
z
f
. Если
функция
(
)
w
ϕ
, обратная однозначной функции
)
(
z
f
, заданной в области
,
является однозначной функцией в области
G
, то между областями
G
и
установлено взаимно однозначное соответствие.
Непрерывность функции комплексной переменной
Определение 1. Число
0
w называется предельным значением функции
(
)
zf в точке
0
z , если для любого
0
>
ε
можно указать такое
0
>
δ
, что для
всех точек Dz
∈
, удовлетворяющих условию
δ
<
−
<
0
0 zz
, имеет место
неравенство:
(
)
ε
<
−
0
wzf .
Определение 2. Функция
)
(
z
f
, заданная на множестве
, называется
непрерывной в точке
Dz
∈
0
, если предельное значение этой функции в точке
0
z существует , конечно и совпадает со значением )(
0
zf функции
)
(
z
f
в
точке
0
z
,т .е.
(
)
(
)
0
lim
0
zfzf
zz
=
→
.
Геометрически это означает, что функция комплексной переменной ,
непрерывная в некоторой точке
0
z
, ставит в соответствие каждой точке из
δ
-
окрестности точки
0
z некоторую точку, принадлежащую
ε
- окрестности
точки
(
)
00
zfw
=
.
Из непрерывности функции комплексной переменной
(
)
(
)
(
)
yxivyxuzfw ,,
+
=
=
следует непрерывность ее действительной
(
)
yxu , и
мнимой
(
)
yxv , частей по совокупности переменных
y
x
,
. Имеет место и
обратное утверждение, т.е. если
(
)
yxu ,
и
(
)
yxv ,
суть непрерывные функции по
совокупности переменных
y
x
,
в некоторой точке
(
)
0
0
, yx , то
(
)
(
)
(
)
yxivyxuzf ,,
+
=
является функцией комплексной переменной
iy
x
z
+
=
,
непрерывной в точке
0
0
0
iyxz
+
=
.
1.4 Дифференцирование функции комплексной переменной
Определение. Пусть в области
комплексной плоскости z задана
функция
)
(
z
f
. Если для точки Dz
∈
0
существует при
0
→
∆
z
предел
( предельное значение) разностного отношения
(
)
(
)
,
00
z
zfzzf
∆
−
∆
+
                                              9
      Э та ф ункци я назы вается обратной ф ункци и f ( z ) . О бласть G зад ани я
ф ункци и ϕ (w) , очеви д но, является область ю значени й ф ункци и f ( z ) . Е сли
ф ункци я ϕ (w) , обратная од нозначной ф ункци и f ( z ) , зад анной в области D ,
является од нозначной ф ункци ей в области G , то меж д уобластями G и D
установлено взаи мно од нозначноесоответстви е.


       Н епр ер ы в но сть функ ци и к о м плек сно й пер ем енно й

         Опр еделени е 1. Ч и сло w0 н азы вает ся предельн ы м зн ач ен и ем ф ун к ци и
 f ( z ) в т оч к е z0 , если для любого ε > 0 м ожн о ук азат ь т ак оеδ > 0 , ч т о для
всехт оч ек z ∈ D , удовлет воряющи хуслови ю 0 < z − z0 < δ , и м еет м ест о
н еравен ст во: f ( z ) − w0 < ε .

       Опр еделени е 2. Фун к ци я f (z ) , задан н ая н а м н ожест веD , н азы вает ся
н епреры вн ой в т оч к е z 0 ∈ D , если предельн оезн ач ен и еэт ой ф ун к ци и в т оч к е
 z0 сущест вует , к он еч н о и совпадает со зн ач ен и ем f ( z0 ) ф ун к ци и f (z ) в
т оч к е z0 ,т .е. lim f ( z ) = f ( z0 ) .
                  z → z0
          Г еометри чески это означает, что ф ункци я комплексной переменной,
непреры вная в некоторой точке z0 , стави тв соответстви екаж д ой точкеи з δ -
окрестности точки z0 некоторую точку, при над леж ащую ε - окрестности
точки w0 = f ( z 0 ) .
          И з непреры вности ф ункци и комплексной переменной
w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) след уетнепреры вность еед ействи тель ной u ( x, y ) и
мни мой v( x, y ) частей по совокупности переменны х x, y . И меетместо и
обратноеутверж д ени е, т.е. если u ( x, y ) и v( x, y ) суть непреры вны еф ункци и по
совокупности переменны х x, y в некоторой точке ( x0 , y0 ) , то
 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) является ф ункци ей комплексной переменной z = x + iy ,
непреры вной в точке z0 = x0 + iy0 .


       1.4 Дифференцирова ние функциикомплексной переменной

        Опр еделени е. П уст ь в област и D к ом плек сн ой плоск ост и z задан а
ф ун к ци я f (z ) . Если для т оч к и z0 ∈ D сущест вует при      ∆z → 0 предел
(предельн оезн ач ен и е) разн ост н ого от н ош ен и я
                                     f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 )
                                                              ,
                                               ∆z

Страницы