Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
При исследовании сходимости последовательности во многих случаях
удобным оказывается необходимый и достаточный признак сходимости
последовательности (критерий Коши ).
Критерий Коши : Последовательность {z
n
} сходится тогда и только
тогда, если для ∀ ε>0 можно указать такое N(ε), что
|z
n
-z
n+m
|<ε при n≥ N(ε) и для ∀ номера m≥0.
Доказательство: 1.Необходимость .
Так как { z
n
} сходится , то сходятся { a
n
} и { b
n
} (последовательности
действительных чисел). Отсюда, для ∀ ε>0 и ∀ m>0
|a
n
-a
n+m
|<ε/2 при n≥N
1
(ε) и |b
n
-b
n+m
|<ε/2 при n≥N
2
(ε).
Выберем N(ε) наибольшим из N
1
и N
2
. В силу указанных неравенств
получаем : |z
n
-z
n+m
|<ε при n≥ N(ε).
2. Достаточность .
Так как | z
n
-z
n+m
|<ε при n≥ N, то | a
n
-a
n+m
|≤|z
n
-z
n+m
|<ε и |b
n
-b
n+m
|≤|z
n
-z
n+m
|< ε, что
является достаточным условием сходимости последовательности { a
n
} и { b
n
} ,
т.е. сходимости последовательности { z
n
} .
1.3 Понятие функции комплексной переменной. Непрерывность
Определения
Однозначная функция комплексной переменной
z
, заданная в области
D
,
определяется законом, ставящим каждому значению
z
из области
D
в
соответствие определенное комплексное число
w
:
)
(
z
f
w
=
.
Множество комплексных чисел
w
, соответствующих всем
D
z
, называется
множеством значений функции
)
(
z
f
. Функцию комплексной переменной
можно представить в виде:
).
,
(
)
,
(
)
(
y
x
iv
y
x
u
z
w
+
=
Функция
(
)
yxu , называется действительной , а функция
(
)
yxv ,
называется мнимой частями функции
)
(
z
f
w
=
. Функции
(
)
yxu ,
и
(
)
yxv ,
-
действительные функции двух действительных переменных.
Множество значений
w
функции
)
(
z
f
на комплексной плоскости
w
может
иметь самую разнообразную структуру. В частности , это может быть область
G
или замкнутая область
G
. Геометрическая интерпретация понятия функции
)
(
z
f
комплексной переменной заключается в том, что равенством
)
(
z
f
w
=
устанавливается закон соответствия между точками области
D
комплексной
плоскости
z
и точками области
G
комплексной плоскости
w
. Очевидно ,
устанавливается и обратное соответствие – каждой точке
G
w
ставится в
соответствие одна или несколько точек
z
области
D
. Это означает , что в
области
G
задана (однозначная или многозначная ) функция комплексной
переменной
w
:
(
)
wz
ϕ
=
. 
                                         8
       П ри и сслед овани и сход и мости послед ователь ности во мног и х случаях
уд обны м оказы вается необход и мы й и д остаточны й при знак сход и мости
послед ователь ности (кри тери й Коши ).
       Кр и тер и й Ко ши : П оследоват ельн ост ь {zn} сходи т ся т огда и т ольк о
т огда, если для ∀ ε>0 м ожн о ук азат ь т ак оеN(ε), ч т о
                     |zn-zn+m|<ε при n≥ N(ε) и для ∀ н ом ера m≥0.
Док азат ельст во: 1.Н еобход и мость .
Т ак как {zn} сход и тся, то сход ятся {an} и {bn} (послед ователь ности
д ействи тель ны хчи сел). О тсюд а, д ля ∀ ε>0 и ∀ m>0
|an-an+m|<ε/2 при n≥N1(ε) и |bn-bn+m|<ε/2 при n≥N2(ε).
    В ы берем N(ε) наи боль ши м и з N1 и N2 . В си лу указанны х неравенств
получаем: |zn-zn+m|<ε при n≥ N(ε).
    2. Д остаточность .
Т аккак|zn-zn+m|<ε при n≥ N, то |an-an+m|≤|zn-zn+m|<ε и |bn-bn+m|≤|zn-zn+m|< ε, что
является д остаточны м услови ем сход и мости послед ователь ности {an} и {bn},
т.е. сход и мости послед ователь ности {zn}.


      1.3 П онятие функциикомплексной переменной. Н епреры вность

     Опр еделени я
     О д нозначная ф ункци я комплексной переменной z , зад анная в области D ,
опред еляется законом, ставящи м каж д ому значени ю z и з области D в
соответстви еопред еленноекомплексноечи сло w :
                                            w= f (z ) .
     М нож ество комплексны х чи сел w , соответствующи х всем z ∈ D , назы вается
множ еством значени й ф ункци и f (z ) . Ф ункци ю комплексной переменной
мож но пред стави ть в ви д е:
                                  w ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ).
         Ф ункци я u ( x, y ) назы вается д ействи тель ной, а ф ункци я v( x, y )
назы вается мни мой частями ф ункци и w = f (z ) . Ф ункци и u ( x, y ) и v( x, y ) -
д ействи тель ны еф ункци и д вух д ействи тель ны х переменны х.
     М нож ество значени й w ф ункци и f ( z ) на комплексной плоскости w мож ет
и меть самую разнообразную структуру. В частности , это мож ет бы ть область
G и ли замкнутая область G . Г еометри ческая и нтерпретаци я поняти я ф ункци и
 f ( z ) комплексной переменной заключается в том, что равенством w = f (z )
устанавли вается закон соответстви я меж д у точками области D комплексной
плоскости z и точками области G комплексной плоскости w . О чеви д но,
устанавли вается и обратное соответстви е – каж д ой точке w∈ G стави тся в
соответстви е од на и ли несколь ко точек z области D . Э то означает, что в
области G зад ана (од нозначная и ли мног означная) ф ункци я комплексной
переменной w :
                                          z = ϕ (w) .

Страницы