Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
Рис. 2.
Для выполнения операции умножения и деления удобно пользоваться
тригонометрической и показательной формой комплексного числа
)),sin()(cos(
2
1
2
1
2
1
)(
212121
2121
ϕϕϕϕρρ
ρρρρ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+++=
====
+
i
eeezzz
iii
где
ϕ
- аргумент комплексного числа
()
()()()
.sincos
2121
2
1
2
1
2
1
2
1
21
2
1
ϕϕϕϕ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ϕϕ
ϕ
ϕ
−+−=
====
−
i
e
e
e
z
z
z
i
i
i
Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа
При возведении комплексного числа
1
1
1
ϕ
ρ
i
ez = в целую положительную
степень n, получаем комплексное число
ϕ
ρ
i
ez = :
)sin(
11
1
1
1
1
ϕϕρρ
ϕ
niс osnezz
n
in
nn
+=== ,
при этом
1
1
ϕ
ϕ
ρρ
in
n
i
ee = , следовательно,
.
1
1
, ϕϕρρ n
n
== .
Комплексное число
n
zz =
1
называется корнем n-й степени из
комплексного числа z, если
n
zz
1
= :
)2(
1
1
π
ϕ
ϕ
ρρ
+
=
i
in
n
ee ,
n
n
ρρρρ ==
11
;
;
(
)
1...,,1,0;
2
;2
11
−=
=+= nk
n
k
kn
π
ϕ
ϕπϕϕ
.
Пример : при нахождении корня
3
1
получаем
(
)
,1
1
1
z
()
3
2
2
1
π
i
ez =
,
()
3
3
1
π
i
ez
−
=
.
Число различных значений корня
n
- ой степени из комплексного числа
z
равно
n
, если аргумент определен с точностью до
π
k
2
. Точки на комплексной
плоскости , соответствующие различным значениям корня
n
-ой степени из
o
y
1
z
21
zz
2
z
x
2
1
zz
                                                    6
             y
                                                    z1 + z2
                         z2


                                              z1 − z 2

                                       z1

              o                                  x
                                          Ри с. 2.
       Д ля вы полнени я операци и умнож ени я и д елени я уд обно поль зовать ся
три г онометри ческой и показатель ной ф ормой комплексног о чи сла
                      z = z1 z 2 = ρ1e iϕ1 ρ 2 eiϕ 2 = ρ1 ρ 2 e i (ϕ1 +ϕ 2 ) =
                      = ρ1 ρ 2 (cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ 2 )),
г д еϕ - арг ументкомплексног о чи сла
                                   z1 ρ1e iϕ1 ρ1 i (ϕ1 − ϕ 2 )
                                 z= =            = e           =
                                   z 2 ρ 2 e iϕ 2 ρ 2
                                     ρ1
                                 =      (cos(ϕ1 −ϕ 2 )+ i sin (ϕ1 −ϕ 2 )).
                                     ρ2

      Во зведени е в степень и и звлечени е к о р ня и зк о м плек сно го чи сла

      П ри возвед ени и комплексног о чи сла z1 = ρ1eiϕ1 в целую полож и тель ную
степень n, получаем комплексноечи сло z = ρ eiϕ :
                      z = z1n = ρ1n einϕ1 = ρ1n (сosnϕ1 + i sin nϕ1 ) ,
при этом ρ eiϕ = ρ1n einϕ1 , след ователь но, ρ = ρ1n , ϕ = nϕ1. .
      Комплексное чи сло             z1 = n z       назы вается корнем n-й             степени      из
комплексног о чи сла z, если z = z1n :
            ρ1n einϕ1 = ρ ei (ϕ + 2 π κ ) ,    ρ1n = ρ ; ρ1 = n ρ ;

           nϕ1 = ϕ + 2πk ; ϕ1 =
                                       (ϕ + 2πk ) ; k = 0,1, ..., n − 1 .
                                            n
                                                                                 i 2π                iπ
                                                                                                   −
П ри мер: при нахож д ени и корня           31
                                                 получаем (z1 )1 =1, ( z1 )2 = e   3  , ( z1 )3 = e 3 .
      Ч и сло разли чны х значени й корня n - ой степени и з комплексног о чи сла z
равно n , если арг ументопред елен сточность ю д о 2kπ . Т очки на комплексной
плоскости , соответствующи е разли чны м значени ям корня n -ой степени и з

Страницы