Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
Рис 1.
Воспользуемся связью декартовых
(
)
yx , и полярных (
ϕ
ρ
,
) координат:
ϕ
ρ
ϕ
ρ
cos
cos
=
=
y
x
(
ρ
- расстояние точки от начала координат,
ϕ
- угол, который составляет
радиус – вектор данной точки с положительным направлением оси абцисс).
Получим тригонометрическую форму записи комплексного числа :
)
sin
(cos
ϕ
ϕ
ρ
i
z
+
=
,
z
=
ρ
- модуль комплексного числа z :
22
ba += ρ ,
z
Arg
=
ϕ
- аргумент комплексного числа :
a
b
tg =ϕ
.
(При выборе из последнего уравнения значения
ϕ
следует учесть знаки a и b).
Положительным направлением изменения угла
ϕ
считается направление
против часовой стрелки
).
(
∞
<
<
∞
−
ϕ
Arg z определен не однозначно , а с точностью до аддитивного
слагаемого, кратного
π
2
. Обозначим через
z
arg
значение аргумента,
заключенное в пределах ,2arg
00
ϕ
π
ϕ
+
<
≤
z где
0
ϕ
- произвольное
фиксированное число ( в дальнейшем считаем
π
ϕ
−
=
0
, тогда
,...)
2
,
1
,
0
(
2
arg
±
±
=
+
=
κ
κπ
z
Argz
.
Аргумент комплексного числа z =0 не определен, а его модуль равен
нулю . Используя формулу Эйлера ϕϕ
ϕ
sincos ie
i
+= , получаем показательную
форму записи комплексного числа:
ϕ
ρ
i
ez = .
Два комплексного числа
1
11
ϕ
ρ
i
ez = и
2
22
ϕ
ρ
i
ez =
равны , если
2
1
2
1
,
ϕ
ϕ
ρ
ρ
=
=
.
Соответствие между множеством всех комплексных чисел и векторами на
плоскости позволяет отождествить операции сложения и вычитания
комплексного числа с соответствующими операциями над векторами . При этом
легко устанавливаются неравенства треугольника :
2121
zzzz
+
≤
+
,
2121
zzzz
−
≥
−
.
Rez
Imz
М
ρ
ϕ
O
a
b
                                          5


                     Imz
                                                  М
                           b
                                   ρ



                                   ϕ

                       O                      a        Rez
                                         Ри с1.
       В осполь зуемся связь ю д екартовы х ( x , y ) и полярны х( ρ,ϕ ) коорд и нат:
                              x = ρ cos ϕ , y = ρ cos ϕ
( ρ - расстояни е точки от начала коорд и нат, ϕ - уг ол, которы й составляет
рад и ус – вектор д анной точки с полож и тель ны м направлени ем оси абци сс).
П олучи м три г онометри ческую ф ормузапи си комплексног о чи сла:
                                 z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ,
 ρ = z - мод уль комплексног о чи сла z : ρ = a 2 + b 2 ,
                                                         b
ϕ = Arg z - арг ументкомплексног о чи сла : tgϕ = .
                                                         a
(П ри вы боре и з послед нег о уравнени я значени я ϕ след ует учесть знаки a и b).
П олож и тель ны м направлени ем и зменени я уг ла ϕ счи тается направлени е
проти в часовой стрелки ( − ∞ < ϕ < ∞).
       Arg z опред елен не од нозначно, а с точность ю д о ад д и ти вног о
слаг аемог о, кратног о 2π . О бозначи м через arg z значени е арг умента,
заключенное в пред елах            ϕ 0 ≤ arg z < 2π + ϕ 0 , г д е ϕ 0 - прои зволь ное
ф и кси рованноечи сло ( в д аль нейшем счи таем ϕ 0 = − π , тог д а
                         Argz = arg z + 2κπ (κ = 0,±1, ± 2,...) .
       Арг умент комплексног о чи сла z =0 не опред елен, а ег о мод уль равен
нулю. И споль зуя ф ормулу Э йлера e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ , получаем показатель ную
ф ормузапи си комплексног о чи сла: z = ρ eiϕ .
       Д ва комплексног о чи сла z1 = ρ1 e iϕ1 и z 2 = ρ 2 e iϕ 2 равны , если
ρ1 = ρ 2 , ϕ1 = ϕ 2 .
       С оответстви емеж д умнож еством всехкомплексны х чи сел и векторами на
плоскости позволяет отож д естви ть операци и слож ени я и вы чи тани я
комплексног о чи сла ссоответствующи ми операци ями над векторами . П ри этом
лег ко устанавли ваются неравенства треуг оль ни ка:
                      z1 + z2 ≤ z1 + z2 , z1 − z2 ≥ z1 − z2 .

Страницы