Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
комплексного числа
z
, расположены в вершинах правильного
n
-угольника ,
вписанного в окружность радиуса
n
ρ
с центром в точке
0
=
z
.
1.2 Предел последовательности комплексных чисел
Определение. Последовательностью комплексных чисел называется
перенумерованное бесконечное множество комплексных чисел .
Обозн: {z
n
}, комплексные числа z
n
называются ее элементами .
Определение. Число z называется пределом последовательности {z
n
},
если для любого положительного числа ε можно указать такой номер N(ε),
начиная с которого все элементы z
n
этой последовательности удовлетворяют
неравенству
|z-z
n
|<ε при n≥ N(ε).
Последовательность { z
n
} , имеющая предел z, называется сходящейся к числу z,
что записывается в виде
zz
n
n
=
∞
→
lim
.
Определение. Множество точек z комплексной плоскости, лежащих
внутри окружности радиуса ε с центром в точке z
0
(|z-z
0
|<ε), называется ε -
окрестностью точки z
0
.
Точка z является пределом сходящейся последовательности { z
n
} , если в
любой ε-окрестности точки z лежат все элементы этой последовательности ,
начиная с некоторого номера, зависящего от ε .
Теорема (необходимое и достаточное условие сходимости)
Необходимым и достаточным условием сходимости последовательности {z
n
}
является сходимость последовательностей действительных чисел { a
n
} и { b
n
}
(z
n
=a
n
+ib
n
)
Доказательство: Если последовательность { z
n
} сходится к числу z=a+ib, то для
∀ ε>0 a
n
-a≤|z-z
0
|<ε, b
n
-b<ε, при n≥N(ε) ⇒ {a
n
}, {b
n
} сходятся к a и b
соответственно. Обратное утверждение следует из соотношения
()()
22
bbaazz
nnn
−+−=−
, где a и b – являются пределами
последовательностей { a
n
} и { b
n
} и z = a + ib.
Определение. Последовательность {z
n
} называется ограниченной, если ∃
такое положительное число М , что для всех элементов z
n
этой
последовательности имеет место неравенство |z
n
|<М .
Основное свойство ограниченной последовательности характеризует
Теорема. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить
сходящуюся подпоследовательность. 
                                            7
комплексног о чи сла z , располож ены в верши нах прави ль ног о n -уг оль ни ка,
впи санног о в окруж ность рад и уса n ρ сцентром в точке z = 0 .


      1.2 П редел последова тельностикомплексны х чисел

      Опр еделени е. П оследоват ельн ост ью к ом плек сн ы хч и сел н азы вает ся
перен ум ерован н оебеск он еч н оем н ожест во к ом плек сн ы хч и сел.
О бозн: {zn}, комплексны ечи сла zn назы ваются ееэлементами .

         Опр еделени е. Ч и сло z н азы вает ся пределом последоват ельн ост и {zn},
если для любого положи т ельн ого ч и сла ε м ожн о ук азат ь т ак ой н ом ер N(ε),
н ач и н ая ск от орого всеэлем ен т ы zn эт ой последоват ельн ост и удовлет воряют
н еравен ст ву
                                    |z-zn|<ε при n≥ N(ε).
П ослед ователь ность {zn}, и меющая пред ел z, назы вается сход ящейся кчи слуz,
что запи сы вается в ви д е lim z n = z .
                            n →∞

       Опр еделени е. Мн ожест во т оч ек z к ом плек сн ой плоск ост и , лежащи х
вн ут ри ок ружн ост и ради уса ε сцен т ром в т оч к еz0 (|z-z0|<ε), н азы вает ся ε-
ок рест н ост ью т оч к и z0.

      Т очка z является пред елом сход ящейся послед ователь ности {zn}, если в
любой ε-окрестности точки z леж ат все элементы этой послед ователь ности ,
начи ная снекоторог о номера, зави сящег о отε.

      Тео р ем а (н еобходи м оеи дост ат оч н оеуслови есходи м ост и )
Необходи м ы м и дост ат оч н ы м услови ем сходи м ост и последоват ельн ост и {zn}
являет ся сходи м ост ь последоват ельн ост ей дейст ви т ельн ы хч и сел {an} и {bn}
(zn=an+ibn)
Док азат ельст во: Е сли послед ователь ность {zn} сход и тся кчи слуz=a+ib, то д ля
∀ ε>0 an-a≤|z-z0|<ε, bn-b<ε, при n≥N(ε) ⇒ {an}, {bn} сход ятся к a и b
соответственно.       О братное утверж д ени е след ует и з              соотношени я
 z n − z = (an − a )2 + (bn − b )2 , г д е a и b – являются                    пред елами
послед ователь ностей {an} и {bn} и z = a + ib.
        Опр еделени е. П оследоват ельн ост ь {zn} н азы вает ся огран и ч ен н ой, если ∃
т ак ое положи т ельн ое ч и сло М , ч т о для всех элем ен т ов zn эт ой
последоват ельн ост и и м еет м ест о н еравен ст во |zn|<М .
        О сновноесвойство ог рани ченной послед ователь ности характери зует
        Тео р ем а. И з всяк ой огран и ч ен н ой последоват ельн ост и м ожн о вы дели т ь
сходящуюся подпоследоват ельн ост ь.

Страницы