Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
Глава 1. Комплексная переменная и функции комплексной
переменной
1.1 Комплексные числа и действия c ними
Под комплексным числом
z
понимают упорядоченную пару
действительных чисел
a
и
b
:
(
)
baz ,
=
. Комплексное число
(
)
ibabaz
−
=
−
=
, называется комплексно сопряженным числу
ib
a
z
+
=
. Два комплексных числа
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
,,, bazbaz
=
=
равны лишь при
.,
2
1
2
1
bbaa
=
=
a
– действительная часть числа
z
,
z
a
=
,
b
– мнимая часть
числа
z
,
z
b
Im
=
.
(
)
10,1
=
=
z ,
(
)
iz
=
=
1,0 – мнимая единица
Действия с комплексными числами
1. Сложение. Если
(
)
(
)
2222211111
, babiazbaibaz
=
+
=
=
+
=
,
то
(
)
2
1
2
1
2
1
bbiaazzz
+
+
+
=
+
=
,
(
)
baz ,
=
,
2
1
2
1
, bbbaaa
+
=
+
=
.
Нулем называется комплексное число
(
)
zz
=
+
=
0,0,00 .
2. Вычитание. Если
222111
, biazibaz
+
=
+
=
, то
(
)
bazzz ,
21
=
−
=
,
(
)
baz ,
=
,
2
1
2
1
, bbbaaa
−
=
−
=
.
3. Произведение комплексных чисел
(
)
(
)
()
,
1
2
2
1
2
1
2
1
12212121221121
babaibbaa
biabbbiaaaibaibazzz
++−=
=
+
−
+
=
+
+
=
=
(
)
baz ,
=
1
2
2
1
2
1
2
1
, bababbbaaa
+
=
−
=
.
4. Деление.
2
2
21
2
1
z
zz
z
z
z == .
2
2
2
2
1221
2
2
2
2
2121
2
1
ba
abab
i
ba
bbaa
z
z
z
+
−
+
+
+
== .
Геометрическая интерпретация комплексного числа
Естественной геометрической интерпретацией является изображение
комплексного числа
ib
a
z
+
=
точкой
(
)
yxM ,
с декартовыми координатами
b
y
a
x
=
=
,
. Число
0
=
z
ставится в соответствие началу координат данной
плоскости .
Такая плоскость называется комплексной , ось абсцисс – действительной ,
ось ординат – мнимой осью комплексной плоскости .
Устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством
всех комплексных чисел и множеством точек комплексной плоскости . 
                                                      4
       Гла ва 1. К омплексна я переменна я ифункциикомплексной
       переменной


       1.1 К омплексны е числа идействия c ними

        П од комплексны м чи слом z пони маютупоряд оченную пару
д ействи тель ны хчи сел a и b : z = (a, b ) . Комплексноечи сло
   z = (a,−b ) = a − ib назы вается комплексно сопряж енны м чи слу
 z = a + ib . Д ва комплексны хчи сла z1 = (a1 , b1 ), z 2 = (a 2 , b2 ) равны ли шь при
a1 = a2 , b1 = b2 . a – д ействи тель ная часть чи сла z , a = Re z , b – мни мая часть
чи сла z , b = Im z . z = (1,0 ) =1 , z = (0,1) = i – мни мая ед и ни ца

       Д ейств и я с к о м плек сны м и чи слам и
1. С лож ен и е.                              (           )          (      )
                    Е сли z1 = a1 + ib1 = a1 b1 , z 2 = a 2 + i b2 = a 2 b2 ,
то z = z1 + z2 = a1 + a2 + i (b1 + b2 ) , z = (a , b ) , a = a1 + a2 , b = b1 + b2 .
Н улем назы вается комплексноечи сло 0 = (0,0), z + 0 = z .
2. Вы ч и т ан и е. Е сли z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + i b2 , то z = z1 − z2 = (a, b ) ,
z = (a , b ) , a = a1 − a2 , b = b1 − b2 .
3. П рои зведен и ек ом плек сн ы хч и сел
z = z1z 2 = (a1 + ib1 )(a2 + ib2 ) = a1a2 + ia1b2 − b1b2 + ia2b1 =
= a1a2 − b1b2 + i (a1b2 + a2b1 ),
z = (a , b ) a = a1a 2 − b1b2 , b = a1b2 + a 2 b1 .
                        z     z z
4. Делен и е.       z= 1 = 1 2 .
                        z2 z 2
                               2
  z   a a +b b    b a − b2 a1
z= 1 = 1 2 1 2 + i 1 2        .
  z2    a22 + b22   a22 + b22

       Г ео м етр и ческ ая и нтер пр етаци я к о м плек сно го чи сла

      Е стественной г еометри ческой и нтерпретаци ей является и зображ ени е
комплексног о чи сла z = a + ib точкой M ( x, y ) с д екартовы ми коорд и натами
x = a, y = b . Ч и сло z = 0 стави тся в соответстви е началу коорд и нат д анной
плоскости .
      Т акая плоскость назы вается комплексной, ось абсци сс – д ействи тель ной,
ось орд и нат– мни мой ось ю комплексной плоскости .
      У станавли вается взаи мно од нозначное соответстви е меж д у множ еством
всех комплексны х чи сели множ еством точеккомплексной плоскости .

Страницы