Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 14 стр.

                                                14
        Тео р ем а Ко ши
        И н т еграл от одн озн ач н ой ан али т и ч еск ой ф ун к ци и f ( z ) по любом у
зам к н ут ом у к он т уру С , цели к ом лежащем у в одн освязн ой област и D , равен
н улю:
                                  ∫ f (ς )dς = 0 .
                                 с
   Док азат ельст во:
                                                       ∂v ∂u                  ∂u ∂v
    ∫ f ( ς )dς = ∫ udξ − vdη + i ∫ vdξ + udη = ∫∫ ( −   −     )dξdη + i ∫∫ (   −   )dξdη .
    с           c                 c               D ∂ξ ∂η                D ∂ξ ∂η
       Е сли f (ς )= u (ξ ,η )+ iv(ξ ,η ) – анали ти ческая, то вы полняется услови е
Коши -Ри мана:
    ∂u ∂v
        =
    ∂ξ ∂η
               ⇒ ∫ f (ς )dς = 0 .
    ∂u      ∂v
        =−         c
    ∂η      ∂ξ
       П ри д оказатель стветеоремы восполь зовали сь след ующи м утверж д ени ем:
Е сли ф ункци и P ( x, y ) и Q( x, y ) непреры вны в замкнутой области D ,
ог рани ченной кусочно-г лад ки м контуром C , а и х частны е прои звод ны е
первог о поряд ка непреры вны в D , то
                                              ∂Q ∂P 
                           ∫ Pdx + Qdy = ∫∫  − dxdy .
                          C                D  ∂x   ∂y 

       Тео р ем а Ко ши -Ри м ана для м но го св язно й о бласти . П уст ь f ( z )
являет ся ан али т и ч еск ой ф ун к ци ей в м н огосвязн ой област и D , огран и ч ен н ой
и звн е к он т уром C0 , а и зн ут ри к он т урам и C1 , C2 ... , C n , и пуст ь f ( z )
н епреры вн а в зам к н ут ой област и D .Тогда ∫ f (ς )dς = 0 , гдеС – полн ая гран и ца
                                                         c
област и ζ , сост оящая и з к он т уров C0 , C1 , C2 ... , C n , при ч ем обход гран и цы
C прои сходи т в положи т ельн ом н аправлен и и .
      В качестве полож и тель ног о направлени я обход а контура при ни маем
направлени е, при котором внутренняя область , ог рани ченная д анны м
замкнуты м контуром, остается слева отнаправлени я д ви ж ени я.

        По няти е нео пр еделенно го и нтегр ала в к о м плек сно й о бласти
        В аж ны м след стви ем теоремы Коши является след ующая теорема.
        Тео р ем а. П уст ь ф ун к ци я f ( z ) определен а и н епреры вн а в н ек от орой
одн освязн ой област и D , а и н т еграл от эт ой ф ун к ци и по любом у зам к н ут ом у
к он т уру C , цели к ом лежащем у в дан н ой област и , равен н улю. Тогда ф ун к ци я
                                          z
                                 Φ( z ) = ∫ f (ς )dς     (z, z 0 ∈D )
                                         z0

являет ся ан али т и ч еск ой ф ун к ци ей в област и D и Φ ' (z ) = f ( z ) .