Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
Глава 2. Ряды аналитических функций . Числовые ряды
2.1 Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной переменной
Числовые ряды
Выражение вида
∑
∞
=1
,
n
n
a (2.1)
где
{
}
n
a - заданная числовая последовательность с комплексными членами
называется числовым рядом .
Ряд (2.1) называется сходящимся, если сходится последовательность
{
}
n
S его частичных сумм
∑
=
=
n
k
kn
aS
1
.
Предел
S
последовательности
{
}
n
S называется суммой ряда (2.1).
Ряд
∑
∞
+= 1nk
k
a называется
n
- м остатком ряда (2.1). Для сходящегося ряда
∑
∞
+=
=+=
1
,
n
k
knnn
arrSS и для
0
>
ε
можно указать такой номер
N
, что
ε
<
n
r
при
N
n
≥
.
Необходимым и достаточным признаком сходимости ряда (2.1) является
критерий Коши :
,
,
N
∃
ε
что ε<
∑
+
=
pn
nk
k
a при
.
,
p
N
n
≥
Необходимым условием сходимости ряда (2.1) является требование :
∞
→
=
n
n
a 0lim .
Если сходится ряд
∑
∞
=1k
k
a (2.2)
с действительными положительными членами , то сходится и ряд (2.1), который
в этом случае называется абсолютно сходящимся .
Функциональные ряды
Выражение вида
()
∑
∞
=
1
n
n
zu , (2.3)
где
(
)
{
}
zu
n
- бесконечная последовательность однозначных функций
комплексной переменной, определенных в области
D
, называется 
                                                     17
      Гла ва 2. Ряды а на литических функций. Ч исловы е ряды


      2.1 Ра вномерносходящ иеся ряды функций комплексной переменной

      Чи сло в ы е р яды
      Вы ражен и еви да
                                   ∞
                                   ∑ an ,                                         (2.1)
                                  n =1
где {an } - задан н ая ч и словая последоват ельн ост ь с к ом плек сн ы м и ч лен ам и
н азы вает ся ч и словы м рядом .
       Р яд (2.1) н азы вает ся сходящи м ся, если сходи т ся последоват ельн ост ь
                                         n
{Sn } его ч аст   и ч н ы хсум м Sn = ∑ ak .
                                       k =1
      П редел S последоват ельн ост и {S n } н азы вает ся сум м ой ряда (2.1).
              ∞
      Ряд     ∑ ak назы вается n - м остатком ряд а (2.1). Д ля сход ящег ося ряд а
            k = n +1
                         ∞
S = Sn + rn , rn = ∑ ak и д ля               ∀ε > 0 мож но указать такой номер N , что
                       k = n +1
rn < ε при n ≥ N .
      Н еобход и мы м и д остаточны м при знаком сход и мости ряд а (2.1) является
                                             n+ p
к р и тер и й Ко ши : ∀ε , ∃ N , что          ∑ ak < ε при n ≥ N , ∀ p.
                                             k =n
      Н еобход и мы м услови ем сход и мости ряд а (2.1) является требовани е:
                                     lim an = 0 .
                                                  n →∞
      Е сли сход и тся ряд
                                              ∞
                                              ∑ ak                                (2.2)
                                              k =1
сд ействи тель ны ми полож и тель ны ми членами , то сход и тся и ряд (2.1), которы й
в этом случаеназы вается абсолютно сход ящи мся.

      Ф унк ци о нальны е р яды
      Вы ражен и еви да
                                   ∞
                                   ∑ un ( z ) ,                                   (2.3)
                                  n =1
где {un ( z )}- беск он еч н ая последоват ельн ост ь одн озн ач н ы х ф ун к ци й
к ом плек сн ой перем ен н ой, определен н ы х в област и     D , н азы вает ся

Страницы