Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
Свойства равномерно сходящихся рядов. Теоремы Вейерштрасса
Теорема 1. Если функции
(
)
zu
n
непрерывны в области
D
, а ряд
()
∑
∞
=1n
n
zu сходится в этой области равномерно к функции
(
)
zf , то
(
)
zf
также непрерывна в области
D
.
Теорема 2. Если ряд (2.3) непрерывных функций
(
)
zu
n
сходится
равномерно в области
D
к функции
(
)
zf , то интеграл от этой функции по
любой кусочно-гладкой кривой
D
C
∈
можно вычислить путем почленного
интегрирования ряда (2.3), т .е.
()()
∑
∫∫
∞
=
=
1n
C
n
С
dudf ζζζζ
Теорема 3 (теорема Вейерштрасса). Пусть функции
(
)
zu
n
являются
аналитическими в области
D
, а ряд
()
∑
∞
=
1
n
n
zu сходится равномерно в любой
замкнутой подобласти
D
области
D
к функции
(
)
zf . Тогда:
1.
(
)
zf является аналитической функцией в области
D
.
2.
()
()
()
()
∑
∞
=
=
1
n
k
n
k
zuzf .
3. Ряд
()
()
∑
∞
=1n
k
n
zu сходится равномерно в любой замкнутой подобласти
D
области
D
.
2.2 Степенные ряды . Ряд Тейлора
Если
(
)
(
)
,
0
n
nn
zzczu −= где
n
c - комплексные числа,
0
z - фиксированная
точка комплексной переменной, то ряд (2.3) называется степенным и имеет
вид
()
∑
−
∞
=0
0
n
n
n
zzc . (2.4)
Члены ряда (2.4) являются аналитическими функциями на всей
комплексной плоскости . Область сходимости степенного ряда (2.4)
определяется следующей теоремой .
Теорема Абеля. Если степенной ряд
()
∑
−
∞
=0
0
n
n
n
zzc сходится в некоторой
точке
01
zz
≠
, то он абсолютно сходится и в любой точке
z
, удовлетворяющей
условию
010
zzzz
−
<
−
, причем в круге
ρ
≤
−
0
zz
радиуса
ρ
, меньшего
01
zz
−
,
ряд сходится равномерно. 
                                                   19
       Св о йств а р ав но м ер но схо дящ и хся р ядо в . Тео р ем ы В ейер штр асса
       Тео р ем а 1. Если ф ун к ци и un (z ) н епреры вн ы в област и D , а ряд
 ∞
 ∑ un ( z ) сходи т ся в эт ой област и равн ом ерн о к ф ун к ци и f (z ) , т о               f (z )
n =1
т ак жен епреры вн а в област и D .

        Тео р ем а 2. Если ряд (2.3) н епреры вн ы х ф ун к ци й un (z ) сходи т ся
равн ом ерн о в област и D к ф ун к ци и f ( z ) , т о и н т еграл от эт ой ф ун к ци и по
любой к усоч н о-гладк ой к ри вой C ∈ D м ожн о вы ч и сли т ь пут ем поч лен н ого
и н т егри рован и я ряда (2.3), т .е.
                                                     ∞
                                    ∫ f (ζ )dζ = ∑ ∫ un (ζ )dζ
                                   С                n =1C
       Тео р ем а 3 (тео р ем а Вейер штр асса). П уст ь ф ун к ци и un ( z ) являют ся
                                                        ∞
ан али т и ч еск и м и в област и D , а ряд ∑ un ( z ) сходи т ся равн ом ерн о в любой
                                                     n =1
зам к н ут ой подобласт и D′ област и D к ф ун к ци и f ( z ) . Тогда:
1. f ( z ) являет ся ан али т и ч еск ой ф ун к ци ей в област и D .
             ∞
2. f ( z ) = ∑ un(k )( z ) .
    ( k)
                n =1
          ∞
3. Р яд ∑ un(k ) ( z ) сходи т ся равн ом ерн о в любой зам к н ут ой подобласт и D′
         n =1
област и D .


        2.2 С тепенны е ряды . Ряд Т ейлора
        Если u n ( z ) = cn ( z − z0 )n , гдеcn - к ом плек сн ы еч и сла, z0 - ф и к си рован н ая
т оч к а к ом плек сн ой перем ен н ой, т о ряд (2.3) н азы вает ся ст епен н ы м и и м еет
ви д
                                        ∞
                                       ∑ cn ( z − z 0 ) .
                                                       n
                                                                                               (2.4)
                                       n =0
      Ч лены ряд а (2.4) являются анали ти чески ми ф ункци ями на всей
комплексной плоскости . О бласть сход и мости степенног о ряд а (2.4)
опред еляется след ующей теоремой.

                                                             ∞
       Тео р ем а Абеля. Если ст епен н ой ряд ∑ cn ( z − z 0 )n сходи т ся в н ек от орой
                                                            n =0
т оч к е z1 ≠ z0 , т о он абсолют н о сходи т ся и в любой т оч к е z , удовлет воряющей
услови ю z − z 0 < z1 − z 0 , при ч ем в к руге z − z 0 ≤ ρ ради уса ρ , м ен ьш его z1 − z 0 ,
ряд сходи т ся равн ом ерн о.

Страницы