Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

22
При
ρ
ζ
C
∈
ряд (2.6) сходится равномерно по
ζ
, так как он мажорируется
сходящимся числовым рядом
∑
−
∞
=
+
0
1
0
n
n
n
zz
ρ
(
ρ
<
−
0
zz
). Подставляя (2.5) в (2.6)
и интегрируя почленно , получаем
()
(
)
()
()
∫
−
−
∑
=
+
∞
=
ρ
ζ
ζ
ζ
π
C
n
n
n
zz
z
df
i
zf
0
1
0
0
2
1
. (2.7)
Обозначим
(
)
()
ζ
ζ
ζ
π
ρ
d
z
f
i
c
C
n
n
∫
−
=
+1
0
2
1
, перепишем (2.7) в виде сходящегося в
выбранной точке
z
степенного ряда:
()()
∑
−=
∞
= 0
0
n
n
n
zzczf
. (2.8)
Отметим, что на основании формулы для производных аналитической функции
(
)
(
)
0
n
zf
с
n
n
=
(2.9)
Докажем единственность разложения (2.8). Предположим, что имеет место
другое разложение:
()()
∑
−=
∞
= 0
0
'
n
n
n
zzczf , (2.10)
где хотя бы один коэффициент
n
n
cc ≠
'
. Степенной ряд (2.10) сходится в круге
Rzz
<
−
0
, следовательно , его коэффициенты
(
)
(
)
0
n
zf
с
n
n
=
′
, что совпадает с
выражением (2.9) для коэффициента
n
с .
Единственность определения коэффициентов доказана.
Ряд (2.8) – называется рядом Тейлора.
Функция
(
)
zf называется голоморфной в точке
0
z , если в некоторой
окрестности этой точки функция разлагается в степенной ряд относительно
0
zz
−
.
Теорема Тейлора устанавливает взаимно однозначное соответствие
между функцией , аналитической в окрестности некоторой точки
0
z и
степенным рядом с центром в этой точке. Это означает эквивалентность
понятий аналитической функции, как функции, бесконечное число раз
дифференцируемой , и функции, представимой в виде суммы степенного ряда
(голоморфной ).
2.3 Единственность определения аналитической функции
Класс функций, названных аналитическими , обладает таким свойством,
которое позволяет, зная поведение такой функции в сколь угодно малой
частичной области , сделать определенное заключение о ее поведении во всей
основной области . Или , более точно, функция, аналитическая в области , будет 
                                                         22
         П ри ζ ∈C ρ ряд (2.6) сход и тся равномерно по ζ , таккакон маж ори руется
                                                          n
                                          ∞     z − z0
сход ящи мся чи словы м ряд ом ∑                              ( z − z 0 < ρ ). П од ставляя (2.5) в (2.6)
                                          n=0    ρ n +1
и и нтег ри руя почленно, получаем
                ∞ 1            f (ζ )dζ
        f (z )= ∑         ∫                  (z − z0 )n .                                       (2.7)
               n = 0 2πi C ρ (ζ − z 0 )
                                       n + 1

                 1         f (ζ )
О бозначи м cn =     ∫                dζ , перепи шем (2.7) в ви д е сход ящег ося в
                2πi C ρ (ζ − z0 )n +1
вы бранной точке z степенног о ряд а:
                      ∞
            f ( z ) = ∑ cn (z − z0 )n .                                                          (2.8)
                     n =0
О тмети м, что на основани и ф ормулы д ля прои звод ны ханали ти ческой ф ункци и
        f (n ) ( z 0 )
   сn =                                                                     (2.9)
            n!
Д окаж ем ед и нственность разлож ени я (2.8). П ред полож и м, что и меет место
д руг оеразлож ени е:
             ∞
   f ( z ) = ∑ cn' ( z − z0 )n ,                                                                (2.10)
            n =0

г д е хотя бы од и н коэф ф и ци ент cn' ≠ cn . С тепенной ряд (2.10) сход и тся в круг е
                                                             f (n ) ( z 0 )
 z − z0 < R , след ователь но, ег о коэф ф и ци енты с′n =                  , что совпад ает с
                                                                 n!
вы раж ени ем (2.9) д ля коэф ф и ци ента сn .
        Е д и нственность опред елени я коэф ф и ци ентов д оказана.
Ряд (2.8) – назы вается ряд ом Т ейлора.
        Ф ункци я f (z ) назы вается г оломорф ной в точке z 0 , если в некоторой
окрестности этой точки ф ункци я разлаг ается в степенной ряд относи тель но
 z − z0 .
        Т еорема Т ейлора устанавли вает взаи мно од нозначное соответстви е
меж д у ф ункци ей, анали ти ческой в окрестности некоторой точки z0 и
степенны м ряд ом с центром в этой точке. Э то означает экви валентность
поняти й анали ти ческой ф ункци и , как ф ункци и , бесконечное чи сло раз
д и ф ф еренци руемой, и ф ункци и , пред стави мой в ви д е суммы степенног о ряд а
(г оломорф ной).


      2.3 Е динственность определения а на литической функции
      Класс ф ункци й, названны х анали ти чески ми , облад ает таки м свойством,
которое позволяет, зная повед ени е такой ф ункци и в сколь уг од но малой
части чной области , сд елать опред еленное заключени е о ее повед ени и во всей
основной области . И ли , более точно, ф ункци я, анали ти ческая в области , буд ет

Страницы