Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
Если
1
2
RR
<
, то существует общая область сходимости рядов (2.16) и
(2.17) - круговое кольцо
102
RzzR
<
−
<
, в котором ряд (2.14) сходится к
аналитической функции
()()()()
102021
, RzzRzzczfzfzf
n
n
n
<−<−=+=
∑
∞
−∞=
,
Если
1
2
RR
>
, то ряды (2.16) и (2.17) общей области сходимости не
имеют. Ряд (2.14) нигде не сходится к какой -либо функции.
Разложение аналитической функции в ряд Лорана
Теорема. Функция
(
)
zf , аналитическая в круговом кольце
102
RzzR
<
−
<
, однозначно представляется в этом кольце сходящимся рядом
Лорана.
Рис. 7.
Доказательство:
Внутри кольца
102
RzzR
<
−
<
фиксируем произвольную точку
z
,
строим окружность ,
'
1
R
C и ,
'
2
R
C с центрами в
0
z
, радиусы которых
удовлетворяют условиям
'
10
'
21
'
1
'
22
, RzzRRRRR <−<<<<
.
Согласно формуле Коши , для многосвязной области имеет место
соотношение
()
(
)
(
)
∫
−
+
∫
−
=
−
'
2
'
1
2
1
2
1
R
R
C
C
z
df
i
d
z
f
i
zf
ζ
ζ
ζ
π
ζ
ζ
ζ
π
.
1. На
'
1
R
C выполняется условие 1
0
0
<≤
−
−
q
z
zz
ζ
. Преобразуем дробь
∑
∞
=
−
−
−
=
−
0
0
0
0
11
n
n
z
zz
zz ζζζ
.
Проведем почленное интегрирование (так как ряд сходится равномерно ),
получим
2
R
0
z
1
R
'
1
R
C
'
2
R
C
z
                                                      26
      Е сли R2 < R1 , то существуетобщая область сход и мости ряд ов (2.16) и
(2.17) - круг овоеколь цо R2 < z − z0 < R1 , в котором ряд (2.14) сход и тся к
анали ти ческой ф ункци и
                                           ∞
          f (z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) = ∑ cn ( z − z 0 )n , R2 < z − z 0 < R1 ,
                                         n = −∞
     Е сли R2 > R1 , то ряд ы (2.16) и (2.17) общей области сход и мости не
и меют. Ряд (2.14) ни г д енесход и тся ккакой-ли бо ф ункци и .

      Разло ж ени е анали ти ческ о й функ ци и в р яд Л о р ана
      Тео р ем а. Фун к ци я f ( z ) , ан али т и ч еск ая в к руговом к ольце
R2 < z − z0 < R1 , одн озн ач н о предст авляет ся в эт ом к ольцесходящи м ся рядом
Л оран а.



                                                           R1
                     C
                         R2'
                                    z0
                                                                  z
                                    R2
                                                      C
                                                          R1'



                  Ри с. 7.
      Док азат ельст во:
      В нутри коль ца R2 < z − z0 < R1 ф и кси руем прои зволь ную точку z ,
строи м окруж ность C R ' , и C R ' , с центрами в z0 , рад и усы которы х
                               1                  2

уд овлетворяютуслови ям R2 < R2' < R1' < R1 , R2' < z − z 0 < R1' .
      С ог ласно ф ормуле К оши , д ля мног освязной области и меет место
                               f (ζ )              f (ζ )dζ
соотношени е f (z ) =
                       1                    1
                           ∫          dζ +      ∫           .
                      2πi C ' ζ − z        2πi C − ζ − z
                               R1                               R2'

                                                          z − z0
      1. Н а C R ' вы полняется услови е                         ≤ q < 1 . П реобразуем д робь
                1                                         ζ − z0
                                    ∞ z−z                           n
                       1        1
                           =        ∑       0 .
                    ζ − z ζ − z0 n = 0  ζ − z0 
П ровед ем почленноеи нтег ри ровани е (таккакряд сход и тся равномерно),
получи м

Страницы