Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
точки
0
z содержит конечное число членов с отрицательными степенями
разности
(
)
0
zz
−
, т.е.
()()
∑
−=
∞
−=
m
n
n
n
zzczf
0
.
Поведение аналитической функции в окрестности ее полюса определяется
теоремой .
Теорема. Если точка
0
z является полюсом аналитической функции
(
)
zf ,
то при
0
zz
→
модуль функции
(
)
zf
неограниченно возрастает независимо от
способа стремления точки
z
к
0
z .
Доказательство:
Представим функцию
(
)
zf в окрестности точки
0
z в виде
()
()
()
∑
∞
=
−
=−+
−
++
−
=
0
0
0
1
0
...
n
n
n
m
m
zzc
zz
c
zz
c
zf
(
)
(
)
(
)
()()()()
.
...
0
0
0
00
1
01010
∑
−+
∑
−=−+
+−++−+−=
∞
=
∞
=
−
−
−+−−
−
n
n
n
n
mn
n
m
mm
m
zzczzzzzc
zzczzcczz
ϕ
При
0
zz
→
модуль функции
(
)
zf неограниченно возрастает независимо
от способа стремления точки
z
к точке
0
z , что и доказывает теорему.
Формула для
(
)
zf может быть переписана в виде
()
(
)
()
m
zz
z
zf
0
−
=
ψ
,
где
(
)
z
ψ
- аналитическая функция и
(
)
0
0
≠
z
ψ
, число
m
называется порядком
полюса.
Имеет место и обратная теорема.
Теорема. Если функция
(
)
zf , аналитическая в окрестности своей
изолированной особой точки
0
z
, неограниченно возрастает по модулю при
любом способе стремления точки
z
к точке
0
z , то точка
0
z является
полюсом функции
(
)
zf
.
3. Изолированная особая точка
0
z называется существенно особой точкой
функции
(
)
zf , если ряд Лорана функции
(
)
zf в окрестности ее изолированной
особой точки
0
z содержит бесконечное число членов с отрицательными
степенями разности
(
)
0
zz
−
, т.е.
()()
∑
∞
−∞=
−=
n
n
n
zzczf
0
.
Поведение аналитической функции в окрестности ее существенно особой
точки описывается следующей теоремой .
Теорема (Пикара). В сколь угодно малой окрестности существенно
особой точки функция
(
)
zf
принимает (и притом бесконечное число раз)
любое конечное значение, за исключением , быть может , одного. 
                                                    29
точки z0 сод ерж и т конечное чи сло                   членов с отри цатель ны ми степенями
                                         ∞
разности ( z − z0 ) , т.е. f (z ) = ∑ cn ( z − z0 )n .
                                       n = −m
П овед ени е анали ти ческой ф ункци и в окрестности ее полюса опред еляется
теоремой.
      Тео р ем а. Если т оч к а z0 являет ся полюсом ан али т и ч еск ой ф ун к ци и f ( z ) ,
т о при z → z 0 м одуль ф ун к ци и f ( z ) н еогран и ч ен н о возраст ает н езави си м о от
способа ст рем лен и я т оч к и z к z0 .
Д оказатель ство:
      П ред стави м ф ункци ю f ( z ) в окрестности точки z0 в ви д е
                                                                   ∞
                            f (z ) =                             + ∑ cn ( z − z0 )n =
                                         c− m                c1
                                                 + ... +
                                    (z − z0 )m             z − z0 n =0
           = ( z − z0 )− m {c− m + c− m +1 ( z − z0 )+ ... + c−1 ( z − z0 )m −1 }+
              ∞                                             ∞
           + ∑ cn ( z − z0 )n = ( z − z0 )− m ϕ (z ) + ∑ cn ( z − z0 )n .
             n=0                                           n =0
        П ри z → z 0 мод уль ф ункци и f ( z ) неог рани ченно возрастаетнезави си мо
отспособа стремлени я точки z кточке z0 , что и д оказы ваеттеорему.
                                                                           ψ (z )
        Ф ормула д ля f ( z ) мож етбы ть перепи сана в ви д е f (z ) =             ,
                                                                         (z − z0 )m
г д е ψ ( z ) - анали ти ческая ф ункци я и ψ ( z0 ) ≠ 0 , чи сло m назы вается поряд ком
полюса.
        И меетместо и обратная теорема.
        Тео р ем а. Если ф ун к ци я f ( z ) , ан али т и ч еск ая в ок рест н ост и своей
и золи рован н ой особой т оч к и z0 , н еогран и ч ен н о возраст ает по м одулю при
любом способе ст рем лен и я т оч к и z к т оч к е z0 , т о т оч к а z0 являет ся
полюсом ф ун к ци и f ( z ) .
        3. И золи рованная особая точка z0 назы вается существенно особой точкой
ф ункци и f ( z ) , если ряд Л орана ф ункци и f ( z ) в окрестности ееи золи рованной
особой точки z0 сод ерж и т бесконечное чи сло членов с отри цатель ны ми
                                                         ∞
степенями разности ( z − z0 ) , т.е. f (z ) = ∑ cn ( z − z 0 )n .
                                                    n= −∞
      П овед ени еанали ти ческой ф ункци и в окрестности еесущественно особой
точки опи сы вается след ующей теоремой.
      Тео р ем а (Пи к ар а). В ск оль угодн о м алой ок рест н ост и сущест вен н о
особой т оч к и ф ун к ци я f ( z ) при н и м ает (и при т ом беск он еч н ое ч и сло раз)
любоек он еч н оезн ач ен и е, за и ск люч ен и ем , бы т ь м ожет , одн ого.

Страницы