Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

31
2. Пусть
0
z является полюсом порядка
m
функции
(
)
zf . В окрестности
этой точки имеет место разложение
(
)
(
)
(
)
(
)
...zzcczzc...zzczf
m
m
+−++−++−=
−
−
−
−
0
1
0
1
0
1
0
(2.27)
Умножив обе части (2.27) на
(
)
m
zz
0
− , получим
(
)
(
)
(
)
(
)
...zzc...zzcczfzz
m
m
m
m
+−++−+=−
−
−
+
−
−
1
0
1
0
1
0
Возьмем производную порядка
(
)
1
−
m от обеих частей этого равенства,
перейдем к пределу при
0
zz
→
, получим формулу для вычисления вычета в
полюсе порядка
m
:
()
[]
()
()()
[
]
zfzz
dz
d
lim
!m
z,zfВыч
m
m
m
zz
0
1
1
0
0
1
1
−
−
=
−
−
→
.
Основная теорема теории вычетов
Теорема. Пусть функция
(
)
zf является аналитической всюду в
замкнутой области
, за исключением конечного числа изолированных особых
точек
(
)
Nkz
k
,...,1
=
, лежащих внутри области
. Тогда
()()
[]
,,2
1
∑
=
∫
=
+
N
k
k
Г
zzfВычidf πζζ
где
+
Г
представляет собой полную границу области
, проходимую в
положительном направлении.
Доказательство:
Рис.8.
Выделим каждую из особых точек
k
z
функции
(
)
zf
замкнутым контуром
k
γ
, не содержащим внутри других особых точек, кроме точки
k
z . Рассмотрим
многосвязанную область , ограниченную контуром
Г
и всеми контурами
k
γ
(рис.8).
Внутри этой области функция
(
)
zf является всюду аналитической .
Поэтому по теореме Коши получим
()()
∑
∫
=+
∫
=
−+
N
k
Г
k
dfdf
1
0
γ
ζζζζ .
Перенеся второе слагаемое направо, мы в силу формулы (2.22) и получим
утверждение теоремы :
1
γ
N
γ
Г
N
z
⋅
k
z
⋅
1
z
⋅
k
γ
                                                         31
      2. П усть z0 является полюсом поряд ка m ф ункци и f ( z ) . В окрестности
этой точки и меетместо разлож ени е
                     f (z ) = c− m (z − z 0 )− m + ... + c−1 (z − z0 )−1 + c0 + c1 (z − z 0 ) + ... (2.27)
У множ и в обечасти (2.27) на ( z − z0 )m , получи м
                      (z − z0 )m f (z ) = c− m + c− m +1 (z − z0 ) + ... + c−1 (z − z0 )m −1 + ...
      В озь мем прои звод ную поряд ка (m − 1) от обеи х частей этог о равенства,
перейд ем кпред елу при z → z0 , получи м ф ормулу д ля вы чи слени я вы чета в
полюсепоряд ка m :

           Вы ч [ f ( z ), z0 ] =
                                       1
                                               lim
                                                     d m −1
                                    (m − 1)! z → z 0 dz m −1
                                                                     [        ]
                                                             (z − z0 )m f (z ) .

        О сн овн ая т еорем а т еори и вы ч ет ов
        Тео р ем а. П уст ь ф ун к ци я f ( z ) являет ся ан али т и ч еск ой всюду в
зам к н ут ой област и D , за и ск люч ен и ем к он еч н ого ч и сла и золи рован н ы хособы х
т оч ек z k (k = 1,..., N ) , лежащи хвн ут ри област и D . Тогда

                              ∫ f (ζ )dζ = 2πi ∑ Вы ч [ f ( z ), z k ],
                                                   N

                             Г+                   k =1

где Г + предст авляет собой полн ую гран и цу област и D , проходи м ую в
полож и т ельн ом н аправлен и и .
      Док азат ельст во:

                                      γN
                                                 ⋅ zN
                              ⋅ z1
                                                          ⋅ zk
                            γ1              γk
                 Г
                           Ри с.8.
       В ы д ели м каж д ую и з особы х точекzk ф ункци и f ( z ) замкнуты м контуром
γ k , не сод ерж ащи м внутри д руг и х особы х точек, кроме точки zk . Рассмотри м
мног освязанную область , ог рани ченную контуром Г и всеми контурами γ k
(ри с.8).
       В нутри этой области ф ункци я f ( z ) является всюд уанали ти ческой.
П оэтомупо теоремеКоши получи м
                                                          N
                                        ∫ f (ζ )dζ + ∑ ∫ f (ζ )dζ = 0 .
                                       Г+                k =1γ −
                                                                 k
П еренеся второе слаг аемое направо, мы в си лу ф ормулы (2.22) и получи м
утверж д ени етеоремы :

Страницы