Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 34 стр.

                                                    34
       Аналог и чны е утверж д ени я и меют место и при a = ±iα (α > 0 ) при
и нтег ри ровани и соответственно в правой части (Re z ≥ 0) и ли в левой части
(Re z ≤ 0) полуплоскости z .
       Л емма и споль зуется при вы чи слени и ши роког о класса несобственны х
и нтег ралов.
       Т еорема . П уст ь ф ун к ци я f (x ) , задан н ая н а дейст ви т ельн ой оси
− ∞ < x < ∞ , м ожет бы т ь продолж ен а н а верхнюю полуплоск ост ь Im z ≥ 0 ,
при ч ем ее ан али т и ч еск ой продолжен и е, ф ун к ци я f ( z ) ,      в верхней
полуплоск ост и удовлет воряет услови ям лем м ы Ж ордан а и н е и м еет особы х
                                                                                 −∞
                                                                                 ∫ e f ( x )dx, a > 0 ,
                                                                                    iax
т оч ек   на    дейст ви т ельн ой оси .             Тогда       и н т еграл
                                                                                 −∞
сущест вует и равен
                         ∞                           n
                                                             [
                          ∫ e f ( x )dx = 2πi ∑ Вы ч e f (z ), z k ,
                             iax                      iaz
                                                    k =1
                                                                             ]
                         −∞
где zk - особы ет оч к и ф ун к ци и f ( z ) в верхней полуплоск ост и z .
      Док азат ельст во. П о услови ю теоремы особы е точки zk ф ункци и f ( z ) в
верхней полуплоскости уд овлетворяют услови ю zk < R0 . Рассмотри м в
верхней полуплоскости z замкнуты й контур, состоящи й и з отрезка
д ействи тель ной оси − R ≤ x ≤ R (R > R0 ) и д уг и C R' , полуокруж ности z = R
в верхней полуплоскости z . В си луосновной теоремы теори и вы четов
                   R
                      iax            iaζ                     iaz
                                                                  n

                                                                 k =1
                                                                         [
                   ∫ e f (x )dx + ∫ e f (ζ )dζ = 2πi ∑ Вы ч e f ( z ), z k .          ]         (2.27)
                  −R                   C R'
П о леммеЖ орд ана пред елвторог о слаг аемог о в левой части (2.27) при R → ∞
равен нулю.




        2.7 П реоб ра зова ние Л а пла са
        Опр еделени е. П реобразован и еЛ апласа ст ави т в соот вет ст ви еф ун к ци и
f (t ) дейст ви т ельн ой перем ен н ой t ф ун к ци ю F ( p ) к ом плек сн ой перем ен н ой p
спом ощью соот н ош ен и я
                                   ∞
                         F ( p ) = ∫ e − pt f (t )dt .                                          (2.28)
                                   0
       О пред ели м класс ф ункци й f (t ) . Буд ем рассматри вать ф ункци и f (t ) ,
опред еленны е д ля всех значени й д ействи тель ной переменной − ∞ < t < ∞ и
уд овлетворяющи еслед ующи м услови ям:
    1. при t < 0 f (t ) ≡ 0 ;