ВУЗ:
Составители:
36
22
2
ω
ω
ω
+
=
⋅
⋅
p
tsin ,
ω
ImRe
>
p ;
22
ω
ω
+
=
⋅
⋅
p
p
tcos ,
ω
ImRe
>
p .
Свойства изображения
1. Линейность изображения.
Если
(
)
(
)
(
)
,n...,,iapRe,tfpF
i
i
i
1=>=
⋅
⋅
то
()()()
∑
>
∑
==
==
⋅
⋅
n
i
iii
n
i
ii
amaxpRe,tfpFpF
1
1
αα ,
где
i
α
- заданные постоянные числа (действительные или комплексные),
i
a -
показатели степени роста
(
)
.tf
i
2.Пусть
(
)
(
)
apRe,tfpF >=
⋅
⋅
, тогда
()
.apRe,,tf
p
F >>=
⋅
⋅
0
1
αα
αα
3. (Теорема запаздывания). Пусть
(
)
(
)
apRe,tfpF >=
⋅
⋅
и задана
функция
()
()
≥−
>
<
=
.,
,0,,0
ττ
τ
τ
τ
ttf
t
tf
4. Изображение производной.
Если функция
(
)
tf
'
удовлетворяет условиям существования изображения
и
(
)
(
)
apRe,pFtf >=
⋅
⋅
, то
(
)
(
)
(
)
apRe,fpFptf
'
>−=
⋅
⋅
0 .
Если функция
(
)
(
)
tf
n
удовлетворяет условиям существования
изображения и
(
)
(
)
apRe,pFtf >=
⋅
⋅
, то
()
()()
() ()
(
)
()
.apRe,
p
f
...
p
f
p
f
pFptf
n
n'
n
>
−−−−=
⋅
⋅
000
2
(2.30)
Формула (2.30) особенно упрощается в том случае, когда
(
)
(
)
(
)
(
)
0...00
1'
−
===
n
fff
:
(
)
(
)
(
)
pFptf
nn
⋅
⋅
=
.
5. Изображение интеграла.
Пусть
(
)
(
)
apRe,pFtf >=
⋅
⋅
. Тогда
()() ()
pF
p
dft
t
1
0
⋅
⋅
=
∫
= ττϕ ,
a
p
>
Re
.
6. Изображение свертки. Сверткой функций
(
)
tf
1
и
(
)
tf
2
называется
функция
(
)
t
ϕ
, определенная соотношением
()()()()()
ττττττϕ dftfdtfft
tt
2
00
121
∫∫
−=−=
.
Если
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
2
1
1
1
apRe,pFtf,apRe,pFtf >=>=
⋅
⋅
⋅
⋅
, то
36
ω2
sin ωt ⋅ =⋅ , Re p > Imω ; cos ωt ⋅ =⋅
p
, Re p > Imω .
2 2 2 2
p +ω p +ω
Св о йств а и зо бр аж ени я
1. Л и н ейн ост ь и зображ ен и я.
Е сли Fi ( p ) ⋅ =⋅ f i (t ), Re p > ai (i =1,...,n ), то
n n
F ( p )= ∑α i Fi ( p ) ⋅ =⋅ ∑α i f i (t ) , Re p > max ai ,
i =1 i =1
г д еα i - зад анны епостоянны ечи сла (д ействи тель ны еи ли комплексны е), ai -
показатели степени роста f i (t ).
2.П усть F ( p ) ⋅ =⋅ f (t ), Re p > a , тог д а
1 p ⋅
F ⋅ = f (αt ), α > 0, Re p > a.
α α
3. (Теорем а запазды ван и я). П усть F ( p ) ⋅ =⋅ f (t ), Re p > a и зад ана
ф ункци я
0, t < τ , τ > 0,
fτ (t ) =
f (t − τ ), t ≥ τ .
4. И зображен и епрои зводн ой.
Е сли ф ункци я f ' (t ) уд овлетворяетуслови ям существовани я и зображ ени я
и f (t ) ⋅ =⋅ F ( p ), Re p > a , то f ' (t ) ⋅ =⋅ p F ( p )− f (0 ), Re p > a .
Е сли ф ункци я f (n )(t ) уд овлетворяетуслови ям существовани я
и зображ ени я и f (t ) ⋅ =⋅ F ( p ), Re p > a , то
f (0 ) f ' (0 ) f (n ) (0 )
f (n ) (t ) ⋅ =⋅ p F ( p )− − − ... − , Re p > a. (2.30)
p p 2
p n
Ф ормула (2.30) особенно упрощается в том случае, ког д а
f (0 ) = f ' (0 ) = ... = f (n −1)(0) : f (n ) (t ) ⋅ =⋅ p n F ( p ) .
5. И зображен и еи н т еграла.
П усть f (t ) ⋅ =⋅ F ( p ), Re p > a . Т ог д а
t
ϕ (t )= ∫ f (τ )dτ ⋅ =⋅
F ( p ) , Re p > a .
1
0 p
6. И зображен и есверт к и . С верткой ф ункци й f1(t ) и f 2 (t ) назы вается
ф ункци я ϕ (t ) , опред еленная соотношени ем
t t
ϕ (t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ = ∫ f1 (t − τ ) f 2 (τ )dτ .
0 0
⋅ ⋅
Е сли f1 (t ) ⋅ = F1 ( p ), Re p > a1 , f 2 (t ) ⋅ = F2 ( p ), Re p > a1 , то
