Дифференциальное исчисление. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

18 §3. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ×
×ÔÏÒÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ (ÉÌÉ ÔÒÅÔØÅÊ
ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ) É ÔÁË ÄÁÌÅÅ. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ, ÎÁÞÉÎÁÑ ÓÏ ×ÔÏÒÏÊ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ× É ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ
y
00
, y
000
, y
(4)
, y
(5)
, . . . , y
(n)
, . . .
(×ÍÅÓÔÏ y
00
É y
000
ÉÎÏÇÄÁ ÐÉÛÕÔ y
(2)
É y
(3)
) ÉÌÉ
f
00
(x), f
000
(x), f
(4)
(x), f
(5)
(x), . . . , f
(n)
(x), . . .
ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÏÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ
(n − 1)-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÔÏ ÅÓÔØ
y
(n)
=
y
(n−1)
0
.
ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ× ÉÍÅÀÔ ÛÉÒÏËÏÅ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅ × ÆÉÚÉËÅ. åÓ-
ÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(x) ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔ ÚÁËÏÎ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÐÏ
ÐÒÑÍÏÊ ÌÉÎÉÉ, ÔÏ ÐÅÒ×ÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ f
0
(x) ÅÓÔØ ÍÇÎÏ×ÅÎÎÁÑ ÓËÏÒÏÓÔØ ÔÏÞ-
ËÉ × ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ x, Á ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÒÁ×ÎÁ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ
ÓËÏÒÏÓÔÉ, ÔÏ ÅÓÔØ ÕÓËÏÒÅÎÉÀ Ä×ÉÖÕÝÅÊÓÑ ÔÏÞËÉ × ÜÔÏÔ ÍÏÍÅÎÔ.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = sin
2
x.
òÅÛÅÎÉÅ. óÎÁÞÁÌÁ ÎÁÊÄ¾Í ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ.
y
0
=
sin
2
x
0
= 2 sin x cos x = sin 2x.
ôÅÐÅÒØ ÎÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ.
y
00
= (y
0
)
0
= (sin 2x)
0
= 2 cos 2x.
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = x sin x.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÈÏÄÉÍ ÐÅÒ×ÕÀ, ×ÔÏÒÕÀ É ÔÒÅÔØÀ ÐÒÏÉÚ-
×ÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ:
y
0
= (x sin x)
0
= sin x + x cos x;
y
00
= (y
0
)
0
= (sin x + x cos x)
0
= cos x + cos x − x sin x = 2 cos x − x sin x;
y
000
= (y
00
)
0
= (2 cos x − x sin x)
0
= −2 sin x − (sin x + x cos x) =
= −3 sin x − x cos x.
3.2. æÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ n-È ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ
ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ y
(n)
(x), ÅÓÌÉ y(x) = x
α
, x > 0, α ¡ ÌÀÂÏÅ ÄÅÊÓÔ×É-
ÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.
18                      §3. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ×

×ÔÏÒÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ (ÉÌÉ ÔÒÅÔØÅÊ
ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ) É ÔÁË ÄÁÌÅÅ. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ, ÎÁÞÉÎÁÑ ÓÏ ×ÔÏÒÏÊ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ× É ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ
                              y 00 , y 000 , y (4) , y (5) , . . . , y (n) , . . .
(×ÍÅÓÔÏ y 00 É y 000 ÉÎÏÇÄÁ ÐÉÛÕÔ y (2) É y (3) ) ÉÌÉ
                   f 00 (x), f 000(x), f (4)(x), f (5)(x), . . . , f (n)(x), . . .
   ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÏÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ
(n − 1)-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÔÏ ÅÓÔØ
                                         0
                              (n)   (n−1)
                             y = y           .

   ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ× ÉÍÅÀÔ ÛÉÒÏËÏÅ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅ × ÆÉÚÉËÅ. åÓ-
ÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔ ÚÁËÏÎ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÐÏ
ÐÒÑÍÏÊ ÌÉÎÉÉ, ÔÏ ÐÅÒ×ÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ f 0 (x) ÅÓÔØ ÍÇÎÏ×ÅÎÎÁÑ ÓËÏÒÏÓÔØ ÔÏÞ-
ËÉ × ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ x, Á ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÒÁ×ÎÁ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ
ÓËÏÒÏÓÔÉ, ÔÏ ÅÓÔØ ÕÓËÏÒÅÎÉÀ Ä×ÉÖÕÝÅÊÓÑ ÔÏÞËÉ × ÜÔÏÔ ÍÏÍÅÎÔ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = sin2 x.
   òÅÛÅÎÉÅ. óÎÁÞÁÌÁ ÎÁÊÄ¾Í ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ.
                                0
                    y 0 = sin2 x = 2 sin x cos x = sin 2x.
ôÅÐÅÒØ ÎÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ.
                           y 00 = (y 0 )0 = (sin 2x)0 = 2 cos 2x.
   ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = x sin x.
   òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÈÏÄÉÍ ÐÅÒ×ÕÀ, ×ÔÏÒÕÀ É ÔÒÅÔØÀ ÐÒÏÉÚ-
×ÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ:

 y 0 = (x sin x)0 = sin x + x cos x;
 y 00 = (y 0 )0 = (sin x + x cos x)0 = cos x + cos x − x sin x = 2 cos x − x sin x;
 y 000 = (y 00 )0 = (2 cos x − x sin x)0 = −2 sin x − (sin x + x cos x) =
                                                                  = −3 sin x − x cos x.


3.2. æÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ n-È ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ

   ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ y (n) (x), ÅÓÌÉ y(x) = xα , x > 0, α ¡ ÌÀÂÏÅ ÄÅÊÓÔ×É-
ÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.

Страницы