Дифференциальное исчисление. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§3. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ× 19
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ, ÉÍÅÅÍ:
y
0
= αx
α−1
, y
(2)
= (y
0
)
0
=
αx
α−1
0
= α(α − 1)x
α−2
,
y
(3)
= (y
(2)
)
0
=
α(α − 1)x
α−2
0
= α(α − 1)(α − 2)x
α−3
, . . .
. . . , y
(n)
= α(α − 1)(α − 2) . . . (α − (n − 1))x
α−n
.
÷×ÅÄ¾Í ÐÏÎÑÔÉÑ ÆÁËÔÏÒÉÁÌÁ É Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÆÁËÔÏÒÉÁÌÁ ÞÉÓÌÁ.
æÁËÔÏÒÉÁÌ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1,
ÞÉÔÁÅÔÓÑ ¤ÜÎ ÆÁËÔÏÒÉÁÌ¥. îÁÐÒÉÍÅÒ, 7! = 7 ·6 ·5 ·4 ·3 ·2 ·1 = 5040. ðÏ ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÉÀ ÐÏÌÁÇÁÀÔ 0! = 1. ÷ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ ÞÁÓÔÏ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ
ÆÏÒÍÕÌÁ:
(n + 1)! = (n + 1) · n!.
ä×ÏÊÎÏÊ ÆÁËÔÏÒÉÁÌ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
n!! = n · (n − 2) · (n − 4) · . . . , 0!! = 1,
ÞÉÔÁÅÔÓÑ ¤Ä×ÏÊÎÏÊ ÆÁËÔÏÒÉÁÌ ÜÎ¥ ÉÌÉ ¤ÜÎ Ä×ÏÊÎÏÊ ÆÁËÔÏÒÉÁÌ¥. ä×ÏÊÎÏÊ
ÆÁËÔÏÒÉÁÌ ÄÌÑ Þ¾ÔÎÙÈ É ÎÅÞ¾ÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁË:
(2n)!! = 2n · (2n − 2) · . . . · 4 · 2,
(2n + 1)!! = (2n + 1) · (2n − 1) · . . . · 3 · 1.
îÁÐÒÉÍÅÒ, 10!! = 10 · 8 · 6 · 4 · 2 = 3840, 7!! = 7 · 5 · 3 · 1 = 105.
ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ n-À ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ y =
1
x
.
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ n-Ê ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÆÕÎË-
ÃÉÉ, ÎÁÊÄÅÎÎÏÊ × ÐÒÉÍÅÒÅ 3. ÷ ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ y =
1
x
= x
−1
. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
α = −1. ðÏÌÕÞÁÅÍ
1
x
(n)
= (−1) · (−2) · (−3) · . . . · (−n) · x
−1−n
=
(−1)
n
· n!
x
n+1
.
ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ y =
1
√
x
.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÉÍÅÎÉÍ ÆÏÒÍÕÌÕ n-Ê ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ, ÎÁÊÄÅÎÎÕÀ × ÐÒÉÍÅÒÅ 3.
÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ y =
1
√
x
= x
−
1
2
. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, α = −
1
2
. éÍÅÅÍ,
1
√
x
(n)
=
−
1
2
·
−
3
2
·
−
5
2
· . . . ·
−
2n − 1
2
· x
−
1
2
−n
=
=
(−1)
n
· 1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1)
(2x)
n
·
√
x
=
(−1)
n
· (2n − 1)!!
(2x)
n
·
√
x
.
§3. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ×                                                   19

   òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ, ÉÍÅÅÍ:
                                       0
 y 0 = αxα−1 , y (2) = (y 0 )0 = αxα−1 = α(α − 1)xα−2,
                                          0
          y (3) = (y (2) )0 = α(α − 1)xα−2 = α(α − 1)(α − 2)xα−3, . . .
                                           . . . , y (n) = α(α − 1)(α − 2) . . . (α − (n − 1))xα−n.
   ÷×ÅÄ¾Í ÐÏÎÑÔÉÑ ÆÁËÔÏÒÉÁÌÁ É Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÆÁËÔÏÒÉÁÌÁ ÞÉÓÌÁ.
   æÁËÔÏÒÉÁÌ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
                                  n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1,
ÞÉÔÁÅÔÓÑ ¤ÜÎ ÆÁËÔÏÒÉÁÌ¥. îÁÐÒÉÍÅÒ, 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040. ðÏ ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÉÀ ÐÏÌÁÇÁÀÔ 0! = 1. ÷ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ ÞÁÓÔÏ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ
ÆÏÒÍÕÌÁ:
                         (n + 1)! = (n + 1) · n!.
   ä×ÏÊÎÏÊ ÆÁËÔÏÒÉÁÌ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
                            n!! = n · (n − 2) · (n − 4) · . . . ,         0!! = 1,
ÞÉÔÁÅÔÓÑ ¤Ä×ÏÊÎÏÊ ÆÁËÔÏÒÉÁÌ ÜÎ¥ ÉÌÉ ¤ÜÎ Ä×ÏÊÎÏÊ ÆÁËÔÏÒÉÁÌ¥. ä×ÏÊÎÏÊ
ÆÁËÔÏÒÉÁÌ ÄÌÑ Þ¾ÔÎÙÈ É ÎÅÞ¾ÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁË:
                                  (2n)!! = 2n · (2n − 2) · . . . · 4 · 2,
                             (2n + 1)!! = (2n + 1) · (2n − 1) · . . . · 3 · 1.
îÁÐÒÉÍÅÒ, 10!! = 10 · 8 · 6 · 4 · 2 = 3840, 7!! = 7 · 5 · 3 · 1 = 105.
  ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ n-À ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ y = x1 .
  òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ n-Ê ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÆÕÎË-
ÃÉÉ, ÎÁÊÄÅÎÎÏÊ × ÐÒÉÍÅÒÅ 3. ÷ ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ y = x1 = x−1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
α = −1. ðÏÌÕÞÁÅÍ
         (n)
          1                                              −1−n     (−1)n · n!
                = (−1) · (−2) · (−3) · . . . · (−n) · x        =             .
          x                                                         xn+1
  ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ y = √1x .
  òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÉÍÅÎÉÍ ÆÏÒÍÕÌÕ n-Ê ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ, ÎÁÊÄÅÎÎÕÀ × ÐÒÉÍÅÒÅ 3.
                             1
÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ y = √1x = x− 2 . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, α = − 21 . éÍÅÅÍ,
           (n)                                                 
       1                     1        3      5                   2n − 1        1
      √            =       −      · −   · −       · ...· −                · x− 2 −n =
        x                    2        2      2                      2
                                      (−1) · 1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1) (−1)n · (2n − 1)!!
                                          n
                                    =                    √                =              √   .
                                               (2x)n · x                          (2x)n · x

Страницы