Дифференциальное исчисление. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

20 §3. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ×
ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ×ÓÅÈ ÐÏÒÑÄËÏ× ÏÔ ÆÕÎËÃÉÊ y = sin x É
y = cos x.
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄ¾Í n-À ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ y = sin x. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØ-
ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ, ÉÍÅÅÍ:
y
0
= cos x = sin
x +
π
2
,
y
(2)
= (y
0
)
0
= (cos x)
0
= −sin x = sin(x + π) = sin
x + 2 ·
π
2
,
y
(3)
=
y
(2)
0
= (−sin x)
0
= −cos x = sin
x + 3 ·
π
2
, . . .
. . . , y
(n)
= sin
x + n ·
π
2
.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ sin x ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉ-
ÓÌÑÔØ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
(sin x)
(n)
= sin
x + n ·
π
2
.
îÁÐÒÉÍÅÒ, (sin x)
(10)
= sin
x + 10 ·
π
2
= sin(x + 5π) = −sin x.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ n-Ê ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ cos x:
(cos x)
(n)
= cos
x + n ·
π
2
.
3.3. æÏÒÍÕÌÁ ìÅÊÂÎÉÃÁ ÄÌÑ n-Ê ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ä×ÕÈ
ÆÕÎËÃÉÊ
äÌÑ ÚÁÐÉÓÉ ÆÏÒÍÕÌÙ ìÅÊÂÎÉÃÁ ××ÅÄ¾Í ÐÏÎÑÔÉÅ ÞÉÓÌÁ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÉÚ n
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÐÏ k ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ (ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÞÉÓÅÌ n É k ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÎÁÔÕ-
ÒÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÉÌÉ ÎÕ̾Í, ÐÒÉÞ¾Í 0 6 k 6 n). éÔÁË, ÄÌÑ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
n É k ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÞÉÓÌÏ C
k
n
ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ:
C
k
n
=
n!
k! · (n − k)!
,
ÐÒÏÉÚÎÏÓÉÔÓÑ ¤ÃÜ ÉÚ ÜÎ ÐÏ ËÁ¥. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ C
k
n
ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÔÕ-
ÒÁÌØÎÏÅ ÐÒÉ ÌÀÂÙÈ n É k.
ðÒÉÍÅÒ 7. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ Á) C
3
5
; Â) C
2
6
; ×) C
4
10
.
20                     §3. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ×

   ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ×ÓÅÈ ÐÏÒÑÄËÏ× ÏÔ ÆÕÎËÃÉÊ y = sin x É
y = cos x.
   òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄ¾Í n-À ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ y = sin x. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØ-
ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ, ÉÍÅÅÍ:

     0
                    π
 y = cos x = sin x +    ,
                     2
          (2)    0 0         0
                                                                  π
         y = (y ) = (cos x) = − sin x = sin(x + π) = sin x + 2 ·      ,
                                                                   2
            (3)
                 0
                  (2)             0
                                                             π
           y = y       = (− sin x) = − cos x = sin x + 3 ·       ,...
                                                              2 
                                                          (n)            π
                                                 . . . , y = sin x + n ·    .
                                                                         2

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ sin x ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉ-
ÓÌÑÔØ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
                                 (n)
                                                π
                          (sin x) = sin x + n ·     .
                                                 2

îÁÐÒÉÍÅÒ, (sin x)(10) = sin x + 10 · π2 = sin(x + 5π) = − sin x.
                                       

   áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ n-Ê ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ cos x:

                                    (n)
                                                       π
                          (cos x)         = cos x + n ·    .
                                                        2


3.3. æÏÒÍÕÌÁ ìÅÊÂÎÉÃÁ ÄÌÑ n-Ê ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ä×ÕÈ
     ÆÕÎËÃÉÊ

   äÌÑ ÚÁÐÉÓÉ ÆÏÒÍÕÌÙ ìÅÊÂÎÉÃÁ ××ÅÄ¾Í ÐÏÎÑÔÉÅ ÞÉÓÌÁ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÉÚ n
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÐÏ k ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ (ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÞÉÓÅÌ n É k ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÎÁÔÕ-
ÒÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÉÌÉ ÎÕ̾Í, ÐÒÉÞ¾Í 0 6 k 6 n). éÔÁË, ÄÌÑ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
n É k ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÞÉÓÌÏ Cnk ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ:

                                                 n!
                                 Cnk =                   ,
                                           k! · (n − k)!

ÐÒÏÉÚÎÏÓÉÔÓÑ ¤ÃÜ ÉÚ ÜÎ ÐÏ ËÁ¥. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ Cnk ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÔÕ-
ÒÁÌØÎÏÅ ÐÒÉ ÌÀÂÙÈ n É k.
  ðÒÉÍÅÒ 7. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ Á) C53; Â) C62; ×) C10
                                          4
                                             .

Страницы