Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 1 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
§1. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
1.1. úÁÄÁÞÉ, ÐÒÉ×ÏÄÑÝÉÅ Ë ÐÏÎÑÔÉÀ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ
÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÎÁÕËÉ É ÔÅÈÎÉËÉ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ
ÆÕÎËÃÉÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÅÍÕ ÜÔÕ ÆÕÎËÃÉÀ,
ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÕÀ ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ. ðÒÏÓÔÅÊÛÁÑ ÔÁËÁÑ ÚÁÄÁÞÁ
×ÓÔÒÅÞÁÌÁÓØ × ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÍ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ, ÇÄÅ ÎÁÈÏÄÉÌÉ ÆÕÎËÃÉÀ ÐÏ ÄÁÎÎÏÊ
ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ, ÔÏ ÅÓÔØ ÎÁÈÏÄÉÌÉ ÆÕÎËÃÉÀ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÕÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ
y
0
= f(x).
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ y, ÅÓÌÉ y
0
= x
3
.
òÅÛÅÎÉÅ. éÚ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ y
0
=
= x
3
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎËÃÉÊ y =
x
4
4
+ C, ÇÄÅ C ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ
ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ.
þÔÏÂÙ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÙÄÅÌÉÔØ ÏÄÎÕ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, ÎÕÖÎÏ
ÚÁÄÁÔØ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÎÁÊÄÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÉ
x = 1 ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ y = 2, ÔÏ ÅÓÔØ y(1) = 2. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ x = 1, y = 2
× ÆÏÒÍÕÌÕ y =
x
4
4
+ C, ÐÏÌÕÞÉÍ 2 =
1
4
+ C. ïÔÓÀÄÁ C =
7
4
. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
ÆÕÎËÃÉÑ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ y
0
= x
3
É ÕÓÌÏ×ÉÀ y(1) = 2, ÉÍÅÅÔ
×ÉÄ y =
x
4
4
+
7
4
.
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ËÒÉ×ÕÀ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÕÀ ÔÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÞÔÏ ÏÔÒÅÚÏË ÌÀ-
ÂÏÊ ÅÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ, ÚÁËÌÀÞÅÎÎÏÊ ÍÅÖÄÕ ÏÓÑÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÄÅÌÉÔÓÑ ÐÏÐÏÌÁÍ
× ÔÏÞËÅ ËÁÓÁÎÉÑ.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ y = f(x) ¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÓËÏÍÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, M(x, y) ¡ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, Á AB ¡ ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë ËÒÉ×ÏÊ × ÔÏÞËÅ M.
õÇÏÌ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ó ÏÓØÀ Ox, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ϕ. éÚ ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÕÇÌÏ×ÏÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ
Ë ËÒÉ×ÏÊ ÒÁ×ÅÎ
k = tg ϕ, tg(180
◦
− ϕ) =
P M
P A
⇒ tg ϕ = −
P M
AM
⇒ tg ϕ = −
y
x
(1)
1
      äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

§1. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ                 ÔÅÏÒÉÉ     ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ
    ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

1.1. úÁÄÁÞÉ, ÐÒÉ×ÏÄÑÝÉÅ Ë ÐÏÎÑÔÉÀ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
     ÎÉÑ

    ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÎÁÕËÉ É ÔÅÈÎÉËÉ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ
ÆÕÎËÃÉÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÅÍÕ ÜÔÕ ÆÕÎËÃÉÀ,
ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÕÀ ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ. ðÒÏÓÔÅÊÛÁÑ ÔÁËÁÑ ÚÁÄÁÞÁ
×ÓÔÒÅÞÁÌÁÓØ × ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÍ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ, ÇÄÅ ÎÁÈÏÄÉÌÉ ÆÕÎËÃÉÀ ÐÏ ÄÁÎÎÏÊ
ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ, ÔÏ ÅÓÔØ ÎÁÈÏÄÉÌÉ ÆÕÎËÃÉÀ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÕÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ
y 0 = f (x).
    ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ y, ÅÓÌÉ y 0 = x3.
    òÅÛÅÎÉÅ. éÚ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ y 0 =
                                             4
= x3 ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎËÃÉÊ y = x4 + C, ÇÄÅ C ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ
ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ.
    þÔÏÂÙ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÙÄÅÌÉÔØ ÏÄÎÕ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, ÎÕÖÎÏ
ÚÁÄÁÔØ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÎÁÊÄÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÉ
x = 1 ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ y = 2, ÔÏ ÅÓÔØ y(1) = 2. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ x = 1, y = 2
                  4
× ÆÏÒÍÕÌÕ y = x4 + C, ÐÏÌÕÞÉÍ 2 = 14 + C. ïÔÓÀÄÁ C = 74 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
ÆÕÎËÃÉÑ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ y 0 = x3 É ÕÓÌÏ×ÉÀ y(1) = 2, ÉÍÅÅÔ
            4
×ÉÄ y = x4 + 74 .
    ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ËÒÉ×ÕÀ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÕÀ ÔÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÞÔÏ ÏÔÒÅÚÏË ÌÀ-
ÂÏÊ ÅÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ, ÚÁËÌÀÞÅÎÎÏÊ ÍÅÖÄÕ ÏÓÑÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÄÅÌÉÔÓÑ ÐÏÐÏÌÁÍ
× ÔÏÞËÅ ËÁÓÁÎÉÑ.
    òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ y = f (x) ¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÓËÏÍÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, M (x, y) ¡ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, Á AB ¡ ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë ËÒÉ×ÏÊ × ÔÏÞËÅ M .
õÇÏÌ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ó ÏÓØÀ Ox, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ϕ. éÚ ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÕÇÌÏ×ÏÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ
Ë ËÒÉ×ÏÊ ÒÁ×ÅÎ

                                    PM             PM            y
       k = tg ϕ,   tg(180◦ − ϕ) =       ⇒ tg ϕ = −    ⇒ tg ϕ = −      (1)
                                    PA             AM            x
                                      1

Страницы