Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ 5
§2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
2.1. íÅÔÏÄ ÉÚÏËÌÉÎ
äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y
0
= f(x, y) ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ
Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ÔÏÞËÉ É ÕÇÌÏ×ÙÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏÍ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ,
ÐÒÏ×ÅÄÅÎÎÏÊ Ë ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ, ÐÒÉÞÅÍ ÓÁÍÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌØ-
ÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÎÁÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÁ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÍÅÓÔÏ ÔÏÞÅË ÐÌÏÓËÏÓÔÉ (x, y), × ËÏÔÏ-
ÒÙÈ ÎÁËÌÏÎ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ Ë ÒÅÛÅÎÉÑÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y
0
= f(x, y) ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ,
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÚÏËÌÉÎÏÊ.
ëÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ (x, y) ÓÔÁ×ÉÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ; ÍÙ
ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÐÏÌÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÊ.
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÚÏËÌÉÎÙ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ f(x, y) = k, ÇÄÅ k = const. þÔÏÂÙ ÐÒÉ-
ÂÌÉÖÅÎÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y
0
= f(x, y), ÍÏÖÎÏ ÎÁÞÅÒÔÉÔØ ÄÏ-
ÓÔÁÔÏÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚÏËÌÉÎ, Á ÚÁÔÅÍ ÐÒÏ×ÅÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ.
ðÒÉÍÅÒ 1. íÅÔÏÄÏÍ ÉÚÏËÌÉÎ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ
y
0
= x − y
2
.
òÅÛÅÎÉÅ. éÚÏËÌÉÎÁÍÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔ-
ÓÑ ÌÉÎÉÉ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ
x −y
2
= k.
äÌÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ k, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ k = 0, ±1, ±2, ÐÒÏ×ÅÄÅÍ ÉÚÏ-
ËÌÉÎÙ x −y
2
= k. üÔÏ ¡ ÐÁÒÁÂÏÌÙ. ëÁÖÄÕÀ ÉÚÏËÌÉÎÕ x −y
2
= k ÐÅÒÅÓÅÞÅÍ
ËÏÒÏÔËÉÍÉ ÏÔÒÅÚËÁÍÉ ÐÏÄ ÕÇÌÏÍ α, tg α = k, Ë ÏÓÉ Ox, ÎÅ ÄÏÈÏÄÑÝÉÍÉ ÄÏ
ÄÒÕÇÉÈ ÉÚÏËÌÉÎ. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ
§2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ                         5

§2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
2.1. íÅÔÏÄ ÉÚÏËÌÉÎ

   äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y 0 = f (x, y) ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ
Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ÔÏÞËÉ É ÕÇÌÏ×ÙÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏÍ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ,
ÐÒÏ×ÅÄÅÎÎÏÊ Ë ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ, ÐÒÉÞÅÍ ÓÁÍÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌØ-
ÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÎÁÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÁ.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÍÅÓÔÏ ÔÏÞÅË ÐÌÏÓËÏÓÔÉ (x, y), × ËÏÔÏ-
ÒÙÈ ÎÁËÌÏÎ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ Ë ÒÅÛÅÎÉÑÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 0 = f (x, y) ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ,
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÚÏËÌÉÎÏÊ.
   ëÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ (x, y) ÓÔÁ×ÉÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ; ÍÙ
ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÐÏÌÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÊ.
   õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÚÏËÌÉÎÙ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ f (x, y) = k, ÇÄÅ k = const. þÔÏÂÙ ÐÒÉ-
ÂÌÉÖÅÎÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 0 = f (x, y), ÍÏÖÎÏ ÎÁÞÅÒÔÉÔØ ÄÏ-
ÓÔÁÔÏÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚÏËÌÉÎ, Á ÚÁÔÅÍ ÐÒÏ×ÅÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. íÅÔÏÄÏÍ ÉÚÏËÌÉÎ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ
                               y0 = x − y2.
   òÅÛÅÎÉÅ. éÚÏËÌÉÎÁÍÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔ-
ÓÑ ÌÉÎÉÉ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ
                               x − y 2 = k.
 äÌÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ k, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ k = 0, ±1, ±2, ÐÒÏ×ÅÄÅÍ ÉÚÏ-




ËÌÉÎÙ x − y 2 = k. üÔÏ ¡ ÐÁÒÁÂÏÌÙ. ëÁÖÄÕÀ ÉÚÏËÌÉÎÕ x − y 2 = k ÐÅÒÅÓÅÞÅÍ
ËÏÒÏÔËÉÍÉ ÏÔÒÅÚËÁÍÉ ÐÏÄ ÕÇÌÏÍ α, tg α = k, Ë ÏÓÉ Ox, ÎÅ ÄÏÈÏÄÑÝÉÍÉ ÄÏ
ÄÒÕÇÉÈ ÉÚÏËÌÉÎ. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ

Страницы