Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

6 §2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
(1, 1), (0, 0), (1, −1), (−1, −1), ÓÏÇÌÁÓÕÑÓØ, ËÁË ÕËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ, Ó ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ-
ÍÉ ÏÔÒÅÚËÏ× ÎÁ ÉÚÏËÌÉÎÁÈ. ðÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÉÓÕÎÏË ÄÁÅÔ ÏÂÝÅÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ
Ï ÒÅÛÅÎÉÑÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x −y
2
= k.
ðÒÉÍÅÒ 2. íÅÔÏÄÏÍ ÉÚÏËÌÉÎ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ
dy
dx
= x
2
+ y
2
.
òÅÛÅÎÉÅ. éÚÏËÌÉÎÁÍÉ ÜÔÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ÌÉÎÉÉ
x
2
+ y
2
= k.
ðÏÓÔÒÏÉÍ ÉÚÏËÌÉÎÙ É ÒÁÓÓÔÁ×ÉÍ ÓÔÒÅÌËÉ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÅ ÐÏÌÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÊ.
y
0
= 0, ÉÍÅÅÍ x = y = 0 (ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ);
y
0
=
1
2
, x
2
+y
2
=
1
2
(ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÒÁÄÉÕÓÏÍ
1
√
2
Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ);
y
0
= 1, x
2
+ y
2
= 1 (ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÒÁÄÉÕÓÏÍ 1).
þÔÏÂÙ ÎÁÞÅÒÔÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÕÀ ËÒÉ×ÕÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÕÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÎÅËÏ-
ÔÏÒÕÀ ÔÏÞËÕ (x
0
, y
0
) ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ É ÐÒÏ×ÅÓÔÉ ÞÅÒÅÚ ÎÅÅ ËÒÉ×ÕÀ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ
ÏÎÁ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÉÍÅÌÁ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÐÏÌÑ. îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÐÒÏ×ÅÄÅÎÙ ËÒÉ×ÙÅ
ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ (0, 0),
0, −
1
2
, (
√
2, 0). íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÎÅ ÏÄÎÁ ËÒÉ-
×ÁÑ, Á ÃÅÌÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ËÒÉ×ÙÈ, ÚÁ×ÉÓÑÝÉÈ ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å
ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÏÔÒÅÚÏË, ÏÔÓÅËÁÅÍÙÊ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÏÓÉ Oy.
6                       §2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

(1, 1), (0, 0), (1, −1), (−1, −1), ÓÏÇÌÁÓÕÑÓØ, ËÁË ÕËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ, Ó ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ-
ÍÉ ÏÔÒÅÚËÏ× ÎÁ ÉÚÏËÌÉÎÁÈ. ðÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÉÓÕÎÏË ÄÁÅÔ ÏÂÝÅÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ
Ï ÒÅÛÅÎÉÑÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x − y 2 = k.
    ðÒÉÍÅÒ 2. íÅÔÏÄÏÍ ÉÚÏËÌÉÎ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ
                                 dy
                                    = x2 + y 2 .
                                 dx

  òÅÛÅÎÉÅ. éÚÏËÌÉÎÁÍÉ ÜÔÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ÌÉÎÉÉ

                                 x2 + y 2 = k.

ðÏÓÔÒÏÉÍ ÉÚÏËÌÉÎÙ É ÒÁÓÓÔÁ×ÉÍ ÓÔÒÅÌËÉ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÅ ÐÏÌÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÊ.
y 0 = 0, ÉÍÅÅÍ x = y = 0 (ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ);
y 0 = 12 , x2 + y 2 = 21 (ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÒÁÄÉÕÓÏÍ √12 Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ);
y 0 = 1, x2 + y 2 = 1 (ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÒÁÄÉÕÓÏÍ 1).




   þÔÏÂÙ ÎÁÞÅÒÔÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÕÀ ËÒÉ×ÕÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÕÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÎÅËÏ-
ÔÏÒÕÀ ÔÏÞËÕ (x0, y0 ) ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ É ÐÒÏ×ÅÓÔÉ ÞÅÒÅÚ ÎÅÅ ËÒÉ×ÕÀ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ
ÏÎÁ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÉÍÅÌÁ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ
                              √          ÐÏÌÑ. îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÐÒÏ×ÅÄÅÎÙ ËÒÉ×ÙÅ
                         1
ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ (0, 0), 0, − 2 , ( 2, 0). íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÎÅ ÏÄÎÁ ËÒÉ-
×ÁÑ, Á ÃÅÌÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ËÒÉ×ÙÈ, ÚÁ×ÉÓÑÝÉÈ ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å
ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÏÔÒÅÚÏË, ÏÔÓÅËÁÅÍÙÊ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÏÓÉ Oy.

Страницы