Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

4 úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
y, ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ×ÉÄÅ y = y(x). åÓÌÉ ÖÅ ×ÙÒÁÚÉÔØ y
Ñ×ÎÏ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ϕ(x, y) = 0 ÎÅ ÕÄÁÅÔÓÑ, ÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ × ×ÉÄÅ
ϕ(x, y) = 0.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ϕ(x, y) = 0, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅÑ×ÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÒÅÛÅ-
ÎÉÅ y = y(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 5. çÒÁÆÉË ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁÚÙ-
×ÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
1.3. ï ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÍÙ ÎÁÈÏÄÉÍ ÉÈ ÒÅ-
ÛÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÏÔ
ÎÉÈ. ïÄÎÁËÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÈÏÔÑ É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ, ÎÏ ÎÅ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ ËÏÎÅÞÎÏÊ ËÏÍ-
ÂÉÎÁÃÉÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ É ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÏÔ ÎÉÈ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÒÅÛÅÎÉÅ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y
0
= x
2
+ y
2
ÎÅÌØÚÑ ÎÁÊÔÉ × ÔÁËÏÍ ×ÉÄÅ.
äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ × ÔÁËÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÛÉÒÏËÏ ÐÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ
ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ, ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÒÏ-
ÓÌÁ Ó ÒÁÚ×ÉÔÉÅÍ ËÏÍÐØÀÔÅÒÎÙÈ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÊ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÞÉÓÌÅÎÎÙÅ
ÍÅÔÏÄÙ ÐÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÐÒÁË-
ÔÉÞÅÓËÉ Ó ÌÀÂÏÊ ÔÒÅÂÕÅÍÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔØÀ.
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÍÅÀÔÓÑ ÓÐÒÁ×ÏÞÎÉËÉ ÐÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ,
× ËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÈÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ-
ÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
óÏÓÔÁ×ÉÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÄÁÎÎÙÈ ÓÅÍÅÊÓÔ× ÌÉÎÉÊ:
1. y = e
Æx
;
2. y = (x − c)
3
;
3. y = sin(x + c);
4. x
2
+ cy
2
= 2y;
5. y
2
+ cx = x
3
;
6. y = c(x − c)
2
;
7. y = ax
2
+ be
x
;
8. (x − a)
2
+ by
2
= 1;
9. ln y = ax + by;
10. x = ay
2
+ by + c.
4                                 úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

y, ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ×ÉÄÅ y = y(x). åÓÌÉ ÖÅ ×ÙÒÁÚÉÔØ y
Ñ×ÎÏ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ϕ(x, y) = 0 ÎÅ ÕÄÁÅÔÓÑ, ÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ × ×ÉÄÅ
ϕ(x, y) = 0.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ϕ(x, y) = 0, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅÑ×ÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÒÅÛÅ-
ÎÉÅ y = y(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 5. çÒÁÆÉË ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁÚÙ-
×ÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.

1.3. ï ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

   ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÍÙ ÎÁÈÏÄÉÍ ÉÈ ÒÅ-
ÛÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÏÔ
ÎÉÈ. ïÄÎÁËÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÈÏÔÑ É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ, ÎÏ ÎÅ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ ËÏÎÅÞÎÏÊ ËÏÍ-
ÂÉÎÁÃÉÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ É ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÏÔ ÎÉÈ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÒÅÛÅÎÉÅ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 0 = x2 + y 2 ÎÅÌØÚÑ ÎÁÊÔÉ × ÔÁËÏÍ ×ÉÄÅ.
   äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ × ÔÁËÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÛÉÒÏËÏ ÐÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ
ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ, ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÒÏ-
ÓÌÁ Ó ÒÁÚ×ÉÔÉÅÍ ËÏÍÐØÀÔÅÒÎÙÈ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÊ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÞÉÓÌÅÎÎÙÅ
ÍÅÔÏÄÙ ÐÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÐÒÁË-
ÔÉÞÅÓËÉ Ó ÌÀÂÏÊ ÔÒÅÂÕÅÍÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔØÀ.
   ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÍÅÀÔÓÑ ÓÐÒÁ×ÏÞÎÉËÉ ÐÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ,
× ËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÈÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ-
ÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

óÏÓÔÁ×ÉÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÄÁÎÎÙÈ ÓÅÍÅÊÓÔ× ÌÉÎÉÊ:
  1. y = eÆx ;
  2. y = (x − c)3 ;
  3. y = sin(x + c);
  4. x2 + cy 2 = 2y;
  5. y 2 + cx = x3;
  6. y = c(x − c)2;
  7. y = ax2 + bex ;
  8. (x − a)2 + by 2 = 1;
  9. ln y = ax + by;
  10. x = ay 2 + by + c.

Страницы