ВУЗ:
Рубрика:
2 §1. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
É ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
y
0
= −
y
x
, (2)
ËÏÔÏÒÏÅ Ó×ÑÚÙ×ÁÅÔ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ É ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÕÀ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ.
ðÒÏ×ÅÒËÏÊ ÍÏÖÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (2) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÌÀÂÁÑ
ÆÕÎËÃÉÑ ×ÉÄÁ y =
C
x
. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÇÉÐÅÒÂÏÌ.
îÁÊÄÅÍ ÇÉÐÅÒÂÏÌÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ M
0
(2, 3). ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ËÏ-
ÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞËÉ × ÆÏÒÍÕÌÕ y =
C
x
, ÐÏÌÕÞÉÍ 3 =
C
2
, C = 6. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÇÉÐÅÒÂÏÌÙ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ M
0
(2, 3), ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
y =
6
x
.
ðÒÉÍÅÒ 3. çÒÕÚ, ÍÁÓÓÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ m, ÚÁËÒÅÐÌÅÎ ÎÁ ×ÅÒÈÎÅÍ ËÏÎÃÅ ×ÅÒÔÉ-
ËÁÌØÎÏ ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÎÏÊ ÐÒÕÖÉÎÙ (ÒÅÓÓÏÒÙ). åÇÏ ÏÔËÌÏÎÑÀÔ ÏÔ ÔÏÞËÉ O ÎÁ
ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, Á ÚÁÔÅÍ ÏÔÐÕÓËÁÀÔ. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÚÁËÏÎ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÇÒÕ-
ÚÁ, ÅÓÌÉ ÓÉÌÁ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÎÁ ÎÅÇÏ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÐÒÕÖÉÎÙ, ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÁ
ÓÖÁÔÉÀ (ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÀ) ÐÒÕÖÉÎÙ É ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÁ × ÓÔÏÒÏÎÕ ÔÏÞËÉ O (ÔÏÞËÉ,
× ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÈÏÄÉÌÓÑ ×ÅÒÈÎÉÊ ËÏÎÅà ÐÒÕÖÉÎÙ, ËÏÇÄÁ ÏÎÁ ÂÙÌÁ × Ó×ÏÂÏÄÎÏÍ
ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ).
òÅÛÅÎÉÅ. åÓÌÉ ÇÒÕÚ Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÐÒÑÍÏÌÉÎÅÊÎÏ ×ÄÏÌØ ÏÓÉ Ox, ÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ
ÚÁËÏÎÕ îØÀÔÏÎÁ
ma =
n
X
k=1
F
k
, (3)
ÇÄÅ a =
d
2
x
dt
2
¡ ÕÓËÏÒÅÎÉÅ ÇÒÕÚÁ, x = x(t) ¡ ÉÓËÏÍÙÊ ÚÁËÏÎ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÇÒÕÚÁ,
F
k
(k = 1, 2, . . . , n) ¡ ÐÒÏÅËÃÉÉ ÓÉÌ ÎÁ ÏÓØ Ox, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÎÁ ÇÒÕÚ.
÷ ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁ ÇÒÕÚ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ Ä×Å ÓÉÌÙ:
~
F
1
= mg~ı ¡ ×ÅÓ ÇÒÕÚÁ É
~
F
2
=
= (−cx)~ı ¡ ÓÉÌÁ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÐÒÕÖÉÎÙ, ÇÄÅ c ¡ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ
ÖÅÓÔËÏÓÔÉ ÐÒÕÖÉÎÙ, ~ı ¡ ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ, ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÎÙÊ ×ÄÏÌØ ÏÓÉ Ox.
ðÒÏÅËÃÉÉ ÜÔÉÈ ÓÉÌ ÒÁ×ÎÙ F
1
= mg, F
2
= −cx. ðÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
m
d
2
x
dt
2
= −cx + mg,
ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ x É ÅÅ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ.
ðÒÏ×ÅÒËÏÊ ÍÏÖÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ
d
2
x
dt
2
+ k
2
x = g, (4)
ÇÄÅ k
2
=
c
m
, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÆÕÎËÃÉÑ
x = c
1
cos kt + c
2
sin kt +
g
k
2
,
2 §1. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
É ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
y
y0 = − , (2)
x
ËÏÔÏÒÏÅ Ó×ÑÚÙ×ÁÅÔ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ É ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÕÀ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ.
ðÒÏ×ÅÒËÏÊ ÍÏÖÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (2) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÌÀÂÁÑ
ÆÕÎËÃÉÑ ×ÉÄÁ y = Cx . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÇÉÐÅÒÂÏÌ.
îÁÊÄÅÍ ÇÉÐÅÒÂÏÌÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ M0 (2, 3). ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ËÏ-
ÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞËÉ × ÆÏÒÍÕÌÕ y = Cx , ÐÏÌÕÞÉÍ 3 = C2 , C = 6. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÇÉÐÅÒÂÏÌÙ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ M0 (2, 3), ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
6
y= .
x
ðÒÉÍÅÒ 3. çÒÕÚ, ÍÁÓÓÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ m, ÚÁËÒÅÐÌÅÎ ÎÁ ×ÅÒÈÎÅÍ ËÏÎÃÅ ×ÅÒÔÉ-
ËÁÌØÎÏ ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÎÏÊ ÐÒÕÖÉÎÙ (ÒÅÓÓÏÒÙ). åÇÏ ÏÔËÌÏÎÑÀÔ ÏÔ ÔÏÞËÉ O ÎÁ
ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, Á ÚÁÔÅÍ ÏÔÐÕÓËÁÀÔ. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÚÁËÏÎ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÇÒÕ-
ÚÁ, ÅÓÌÉ ÓÉÌÁ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÎÁ ÎÅÇÏ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÐÒÕÖÉÎÙ, ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÁ
ÓÖÁÔÉÀ (ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÀ) ÐÒÕÖÉÎÙ É ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÁ × ÓÔÏÒÏÎÕ ÔÏÞËÉ O (ÔÏÞËÉ,
× ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÈÏÄÉÌÓÑ ×ÅÒÈÎÉÊ ËÏÎÅà ÐÒÕÖÉÎÙ, ËÏÇÄÁ ÏÎÁ ÂÙÌÁ × Ó×ÏÂÏÄÎÏÍ
ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ).
òÅÛÅÎÉÅ. åÓÌÉ ÇÒÕÚ Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÐÒÑÍÏÌÉÎÅÊÎÏ ×ÄÏÌØ ÏÓÉ Ox, ÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ
ÚÁËÏÎÕ îØÀÔÏÎÁ
Xn
ma = Fk , (3)
k=1
2
ÇÄÅ a = ddtx2 ¡ ÕÓËÏÒÅÎÉÅ ÇÒÕÚÁ, x = x(t) ¡ ÉÓËÏÍÙÊ ÚÁËÏÎ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÇÒÕÚÁ,
Fk (k = 1, 2, . . . , n) ¡ ÐÒÏÅËÃÉÉ ÓÉÌ ÎÁ ÏÓØ Ox, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÎÁ ÇÒÕÚ.
÷ ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁ ÇÒÕÚ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ Ä×Å ÓÉÌÙ: F~1 = mg~ı ¡ ×ÅÓ ÇÒÕÚÁ É F~2 =
= (−cx)~ı ¡ ÓÉÌÁ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÐÒÕÖÉÎÙ, ÇÄÅ c ¡ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ
ÖÅÓÔËÏÓÔÉ ÐÒÕÖÉÎÙ, ~ı ¡ ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ, ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÎÙÊ ×ÄÏÌØ ÏÓÉ Ox.
ðÒÏÅËÃÉÉ ÜÔÉÈ ÓÉÌ ÒÁ×ÎÙ F1 = mg, F2 = −cx. ðÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
d2 x
m 2 = −cx + mg,
dt
ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ x É ÅÅ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ.
ðÒÏ×ÅÒËÏÊ ÍÏÖÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ
d2 x
2
+ k 2x = g, (4)
dt
2 c
ÇÄÅ k = m , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÆÕÎËÃÉÑ
g
x = c1 cos kt + c2 sin kt + ,
k2
