Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ 7
2.2. ïÂÝÅÅ É ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ôÅÏÒÅÍÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ
ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
F (x, y, y
0
) = 0 (5)
ÉÌÉ × ×ÉÄÅ, ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÏÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ y
0
:
y
0
= f(x, y), (6)
ÇÄÅ F ¡ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÔÒÅÈ Ó×ÏÉÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×, f ¡ ÎÅ-
ÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÔ x, y.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. æÕÎËÃÉÑ y = y(x, c), ÇÄÅ c ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎ-
ÎÁÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ, ÅÓÌÉ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ c ÆÕÎËÃÉÑ y = y(x, c) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉ-
ÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 3. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ϕ(x, y, c) = 0, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅÑ×ÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÂ-
ÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y = y(x, c) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ
ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
åÓÌÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ϕ(x, y, c) = 0 ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÒÅÛÉÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ y, ÔÏ ÐÏÌÕ-
ÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ y = y(x, c).
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4. åÓÌÉ × ÏÂÝÅÍ ÒÅÛÅÎÉÉ y = y(x, c) ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏ-
ÓÔÏÑÎÎÏÊ ÐÒÉÄÁÔØ ËÏÎËÒÅÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ c = c
0
, ÔÏ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
y = y(x, c
0
) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 5. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ y = y(x), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÇÏ
ÕÓÌÏ×ÉÀ y(x
0
) = y
0
, ÇÄÅ x
0
, y
0
¡ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÅÊ ëÏÛÉ.
÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÐÒÏÓ, ËÁËÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÄÏÌÖÎÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÆÕÎËÃÉÑ
f(x, y), ÞÔÏÂÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y
0
= f (x, y) ÉÍÅÌÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ
ëÏÛÉ. ïÔ×ÅÔ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÏÐÒÏÓ ÄÁÅÔ ÔÅÏÒÅÍÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ
ÒÅÛÅÎÉÑ.
ôÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ D ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x É y
ÆÕÎËÃÉÑ f(x, y) É ÅÅ ÞÁÓÔÎÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ
∂f
∂y
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ, ÔÏ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÊ
ÔÏÞËÉ (x
0
, y
0
) ÏÂÌÁÓÔÉ D ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y = y(x) ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ y
0
= f (x, y), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(x
0
) = y
0
.
çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÔÅÏÒÅÍÙ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÚÁ-
ËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ ÏÂÌÁÓÔÉ D ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ
ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ.
§2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ                          7

2.2. ïÂÝÅÅ É ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
     ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ôÅÏÒÅÍÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ
     ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ

  òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

                              F (x, y, y 0) = 0                        (5)

ÉÌÉ × ×ÉÄÅ, ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÏÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ y 0 :

                               y 0 = f (x, y),                         (6)

ÇÄÅ F ¡ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÔÒÅÈ Ó×ÏÉÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×, f ¡ ÎÅ-
ÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÔ x, y.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. æÕÎËÃÉÑ y = y(x, c), ÇÄÅ c ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎ-
ÎÁÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ, ÅÓÌÉ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ c ÆÕÎËÃÉÑ y = y(x, c) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉ-
ÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 3. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ϕ(x, y, c) = 0, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅÑ×ÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÂ-
ÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y = y(x, c) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ
ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
   åÓÌÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ϕ(x, y, c) = 0 ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÒÅÛÉÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ y, ÔÏ ÐÏÌÕ-
ÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ y = y(x, c).
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4. åÓÌÉ × ÏÂÝÅÍ ÒÅÛÅÎÉÉ y = y(x, c) ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏ-
ÓÔÏÑÎÎÏÊ ÐÒÉÄÁÔØ ËÏÎËÒÅÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ c = c0 , ÔÏ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
y = y(x, c0) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 5. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ y = y(x), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÇÏ
ÕÓÌÏ×ÉÀ y(x0) = y0 , ÇÄÅ x0, y0 ¡ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÅÊ ëÏÛÉ.
   ÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÐÒÏÓ, ËÁËÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÄÏÌÖÎÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÆÕÎËÃÉÑ
f (x, y), ÞÔÏÂÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y 0 = f (x, y) ÉÍÅÌÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ
ëÏÛÉ. ïÔ×ÅÔ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÏÐÒÏÓ ÄÁÅÔ ÔÅÏÒÅÍÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ
ÒÅÛÅÎÉÑ.
   ôÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ D ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x É y
ÆÕÎËÃÉÑ f (x, y) É ÅÅ ÞÁÓÔÎÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ∂f  ∂y ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ, ÔÏ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÊ
ÔÏÞËÉ (x0, y0) ÏÂÌÁÓÔÉ D ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y = y(x) ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ y 0 = f (x, y), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(x0) = y0 .
   çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÔÅÏÒÅÍÙ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÚÁ-
ËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ ÏÂÌÁÓÔÉ D ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ
ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ.

Страницы