Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ 9
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
√
y dy = dx ⇒ dx =
√
y dy ⇒ x =
Z
√
y dy + C ⇒
⇒ x =
2
3
y
3
2
+ C ⇒ x =
2
3
y
√
y + C
îÁÊÄÅÍ ÄÁÌÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(0) = 1
0 =
2
3
+ C ⇒ C = −
2
3
, x =
2
3
y
√
y −
2
3
.
II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
dy
dx
= f (x)ϕ(y), (12)
× ËÏÔÏÒÏÍ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÅÓÔØ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁ×ÉÓÑÝÅÊ ÔÏÌØËÏ ÏÔ
x, ÎÁ ÆÕÎËÃÉÀ ÔÏÌØËÏ ÏÔ y, ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÍÙ ¤ÒÁÚ-
ÄÅÌÑÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ¥, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÒÉ ÐÏÍÏÝÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ É ÄÅÌÅÎÉÑ ÐÒÉ×ÏÄÉÍ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ë ÔÁËÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÞÔÏÂÙ × ÏÄÎÕ ÞÁÓÔØ ×ÈÏÄÉÌÁ ÔÏÌØËÏ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÔ
x É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ dx, Á × ÄÒÕÇÕÀ ÞÁÓÔØ ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÔ y É dy.
÷ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ (12) ÎÁÄÏ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÕÍÎÏÖÉÔØ ÎÁ dx É ÒÁÚÄÅÌÉÔØ
ÎÁ ϕ(y). ðÏÌÕÞÁÅÍ
dy
ϕ(y)
= f (x) dx. (13)
åÓÌÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÒÁ×ÎÙ, ÔÏ ÉÈ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÍÏÇÕÔ ÒÁÚ-
ÌÉÞÁÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ ÓÌÁÇÁÅÍÙÍ.
Z
dy
ϕ(y)
=
Z
f(x) dx + C. (14)
åÓÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÚÁÄÁÎÏ × ×ÉÄÅ
M(x)N(y) dx + P (x)Q(y) dy = 0, (15)
ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ N(y)P (x):
M(x) dx
P (x)
+
Q(y) dy
N(y)
= 0.
ïÔËÕÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
Z
M(x) dx
P (x)
+
Z
Q(y) dy
N(y)
= C.
ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
x dx + y dy = 0.
§2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ                        9

  òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
             √                √                       √
                                                  Z
              y dy = dx ⇒ dx = y dy ⇒ x =              y dy + C ⇒
                          2 3           2 √
                   ⇒ x = y2 + C ⇒ x = y y + C
                          3             3
îÁÊÄÅÍ ÄÁÌÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(0) = 1
                   2              2   2 √ 2
                 0=  +C ⇒C =− , x= y y− .
                   3              3   3   3
  II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
                              dy
                                  = f (x)ϕ(y),                      (12)
                              dx
× ËÏÔÏÒÏÍ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÅÓÔØ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁ×ÉÓÑÝÅÊ ÔÏÌØËÏ ÏÔ
x, ÎÁ ÆÕÎËÃÉÀ ÔÏÌØËÏ ÏÔ y, ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÍÙ ¤ÒÁÚ-
ÄÅÌÑÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ¥, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÒÉ ÐÏÍÏÝÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ É ÄÅÌÅÎÉÑ ÐÒÉ×ÏÄÉÍ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ë ÔÁËÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÞÔÏÂÙ × ÏÄÎÕ ÞÁÓÔØ ×ÈÏÄÉÌÁ ÔÏÌØËÏ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÔ
x É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ dx, Á × ÄÒÕÇÕÀ ÞÁÓÔØ ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÔ y É dy.
   ÷ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ (12) ÎÁÄÏ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÕÍÎÏÖÉÔØ ÎÁ dx É ÒÁÚÄÅÌÉÔØ
ÎÁ ϕ(y). ðÏÌÕÞÁÅÍ
                               dy
                                   = f (x) dx.                      (13)
                              ϕ(y)
åÓÌÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÒÁ×ÎÙ, ÔÏ ÉÈ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÍÏÇÕÔ ÒÁÚ-
ÌÉÞÁÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ ÓÌÁÇÁÅÍÙÍ.
                            dy
                        Z          Z
                                 = f (x) dx + C.                    (14)
                           ϕ(y)
åÓÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÚÁÄÁÎÏ × ×ÉÄÅ
                      M (x)N (y) dx + P (x)Q(y) dy = 0,             (15)
ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ N (y)P (x):
                          M (x) dx Q(y) dy
                                  +        = 0.
                           P (x)    N (y)
ïÔËÕÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
                      M (x) dx     Q(y) dy
                    Z            Z
                               +           = C.
                        P (x)       N (y)
  ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                               x dx + y dy = 0.

Страницы