Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ 11
Á ÔÁËÖÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, (17)
ÇÄÅ M(x, y), N(x, y) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ÆÕÎËÃÉÑÍÉ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ.
ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, f(x, y) ÅÓÔØ ÏÄÎÏÒÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ n-ÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ
×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï
f(tx, ty) = t
n
f(x, y). (18)
ðÒÉ n = 0 ÉÍÅÅÍ
f(tx, ty) = f (x, y).
÷ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ (16) f
y
x
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ.
åÓÌÉ ××ÅÓÔÉ ÎÏ×ÕÀ ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ
u =
y
x
, (19)
ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (16) ÕÐÒÏÝÁÅÔÓÑ É ÐÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ:
y = ux.
îÁÊÄÅÍ
y
0
= u + x
du
dx
É ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (16)
u + x
du
dx
= ϕ(u)
ÉÌÉ
x du = (ϕ(u) − u) dx.
ðÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÒÁÚÄÅÌÑÀÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÎÁ x[ϕ(u)−u], ÐÏÌÕÞÉÍ
du
ϕ(u) − u
=
dx
x
.
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ
Z
du
ϕ(u) − u
= ln |x| + C. (20)
åÓÌÉ × ÜÔÏÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÚÁÍÅÎÉÔØ u ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ
y
x
, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (16).
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÅ ÏÂÑÚÁ-
ÔÅÌØÎÏ ÐÒÉ×ÏÄÉÔØ ÉÈ Ë ×ÉÄÕ (16). äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Ë ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÍÕ ÔÉÐÕ, É ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ
ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ (19). ðÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÇÏÔÏ×ÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (20) ÔÏÖÅ ÎÅÃÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚ-
ÎÏ.
§2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ                        11

Á ÔÁËÖÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
                          M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0,             (17)
ÇÄÅ M (x, y), N (x, y) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ÆÕÎËÃÉÑÍÉ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ.
   ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, f (x, y) ÅÓÔØ ÏÄÎÏÒÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ n-ÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ
×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï
                              f (tx, ty) = tn f (x, y).              (18)
ðÒÉ n = 0 ÉÍÅÅÍ
                           f (tx, ty) = f (x, y).
                    y
                      
÷ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ (16) f x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ.
   åÓÌÉ ××ÅÓÔÉ ÎÏ×ÕÀ ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ
                                        y
                                   u= ,                              (19)
                                        x
ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (16) ÕÐÒÏÝÁÅÔÓÑ É ÐÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ:
                                   y = ux.
îÁÊÄÅÍ
                                           du
                               y0 = u + x
                                           dx
É ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (16)
                                    du
                             u+x       = ϕ(u)
                                    dx
ÉÌÉ
                          x du = (ϕ(u) − u) dx.
ðÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÒÁÚÄÅÌÑÀÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÎÁ x[ϕ(u) − u], ÐÏÌÕÞÉÍ
                                  du        dx
                                         =     .
                             ϕ(u) − u        x
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                               du
                        Z
                                      = ln |x| + C.                  (20)
                           ϕ(u) − u
åÓÌÉ × ÜÔÏÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÚÁÍÅÎÉÔØ u ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ xy , ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (16).
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÅ ÏÂÑÚÁ-
ÔÅÌØÎÏ ÐÒÉ×ÏÄÉÔØ ÉÈ Ë ×ÉÄÕ (16). äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Ë ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÍÕ ÔÉÐÕ, É ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ
ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ (19). ðÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÇÏÔÏ×ÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (20) ÔÏÖÅ ÎÅÃÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚ-
ÎÏ.

Страницы