Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

12 §2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ ϕ(u) − u ≡ 0, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
dy
dx
=
y
x
É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÔÓÑ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. åÇÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
y = cx. åÓÌÉ ϕ(u) − u ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÐÒÉ ÚÎÁÞÅÎÉÉ u = u
0
, ÔÏ ËÒÏÍÅ
ÒÅÛÅÎÉÊ, ÄÁ×ÁÅÍÙÈ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (20), ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÖÅ ÒÅÛÅÎÉÅ u = u
0
ÉÌÉ
y = u
0
x (ÐÒÑÍÁÑ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ).
ðÒÉÍÅÒ 8. îÁÊÔÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
dy
dx
=
2xy
x
2
− y
2
.
òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ, ÔÁË ËÁË f(x, y) =
2xy
x
2
−y
2
Ñ×ÌÑÅÔ-
ÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ,
f(tx, ty) =
2(tx · ty)
(tx)
2
− (ty)
2
=
t
2
· 2xy
t
2
(x
2
− y
2
)
=
2xy
x
2
− y
2
,
ÔÏ ÅÓÔØ f(x, y) = f(tx, ty).
äÅÌÁÅÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ y = ux,
dy
dx
= u + x
du
dx
, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ:
u + x
du
dx
=
2u
1 − u
2
ÉÌÉ x
du
dx
=
u + u
3
1 − u
2
.
ðÏÌÕÞÉÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ
du
dx
=
u(1 + u
2
)
(1 − u
2
)
·
1
x
,
(1 − u
2
)
u(1 + u
2
)
du =
dx
x
,
Z
1 − u
2
u(1 + u
2
)
du =
Z
dx
x
+ ln C.
÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ, ÒÁÚÌÁÇÁÑ ÄÒÏÂÎÏ-ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÆÕÎË-
ÃÉÀ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÒÏÂÉ
1 − u
2
u(1 + u
2
)
=
A
u
+
Cu + B
1 + u
2
,
1 − u
2
= A(1 + u
2
) + u(Cu + B),
1 − u
2
= (A + C)u
2
+ Bu + A,
ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ A = 1, B = 0, C = −2. éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
ln u − ln |1 + u
2
| − ln |x| = ln C
ÉÌÉ
ln
u
(1 + u
2
)x
= ln C ⇒
u
(1 + u
2
)x
= C.
12                    §2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ ϕ(u) − u ≡ 0, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
                                 dy   y
                                    =
                                 dx x
É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÔÓÑ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. åÇÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
y = cx. åÓÌÉ ϕ(u) − u ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÐÒÉ ÚÎÁÞÅÎÉÉ u = u0, ÔÏ ËÒÏÍÅ
ÒÅÛÅÎÉÊ, ÄÁ×ÁÅÍÙÈ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (20), ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÖÅ ÒÅÛÅÎÉÅ u = u 0 ÉÌÉ
y = u0 x (ÐÒÑÍÁÑ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ).
   ðÒÉÍÅÒ 8. îÁÊÔÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                              dy     2xy
                                 = 2      .
                              dx x − y 2
                                                                       2xy
   òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ, ÔÁË ËÁË f (x, y) =           x2 −y 2   Ñ×ÌÑÅÔ-
ÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ,
                            2(tx · ty)       t2 · 2xy      2xy
             f (tx, ty) =               =               =         ,
                          (tx)2 − (ty)2   t2 (x2 − y 2 ) x2 − y 2
ÔÏ ÅÓÔØ f (x, y) = f (tx, ty).
                                 dy           du
   äÅÌÁÅÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ y = ux,    dx
                                      = u + x dx , ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ:
                     du     2u         du u + u3
                u+x     =       ÉÌÉ x     =      .
                     dx 1 − u2         dx 1 − u2
ðÏÌÕÞÉÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ
                            du u(1 + u2) 1
                                =            · ,
                            dx     (1 − u2) x
            (1 − u2 )      dx         1 − u2          dx
                                 Z                  Z
                      du =    ,                du =      + ln C.
           u(1 + u2)        x       u(1 + u2 )        x
÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ, ÒÁÚÌÁÇÁÑ ÄÒÏÂÎÏ-ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÆÕÎË-
ÃÉÀ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÒÏÂÉ
                          1 − u2    A Cu + B
                                  =    +         ,
                        u(1 + u2)    u    1 + u2
                     1 − u2 = A(1 + u2) + u(Cu + B),
                       1 − u2 = (A + C)u2 + Bu + A,
ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ A = 1, B = 0, C = −2. éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                       ln u − ln |1 + u2| − ln |x| = ln C
ÉÌÉ
                           u                     u
                   ln        2
                                  = ln C ⇒              = C.
                      (1 + u )x              (1 + u2)x

Страницы