Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

14 §2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
ÇÄÅ x
0
É y
0
×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ × ÎÏ×ÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÔÁÌÏ
ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ.
äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÔÁË ËÁË dx = dX, dy = dY , ÔÏ y
0
=
dY
dX
. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ
x = X + x
0
, y = Y + y
0
, y
0
=
dY
dX
× ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
dY
dX
=
a
1
X + b
1
Y + (a
1
x
0
+ b
1
y
0
+ c
1
)
a
2
X + b
2
Y + (a
2
x
0
+ b
2
y
0
+ c
2
)
.
äÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ x
0
, y
0
ÐÏÌÕÞÁÅÍ Ä×Á ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
a
1
x
0
+ b
1
y
0
+ c
1
= 0
a
2
x
0
+ b
2
y
0
+ c
2
= 0
ôÁË ËÁË ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÓÉÓÔÅÍÙ – =
a
1
b
1
a
2
b
2
6= 0, ÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎ-
ÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÏ×ÙÈ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÙÈ
dY
dX
=
a
1
X + b
1
Y
a
2
X + b
2
Y
.
ðÒÉÍÅÒ 10. îÁÊÔÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y
0
=
x − y + 1
x + y − 3
.
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ
– =
1 −1
1 1
= 2.
ðÏÓËÏÌØËÕ – 6= 0, ÔÏ ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ Ó×ÅÓÔÉ Ë ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÍÕ. äÌÑ
ÜÔÏÇÏ ××ÏÄÉÍ ÎÏ×ÙÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ
x = X + x
0
, y = Y + y
0
.
ôÏÇÄÁ dx = dX, dy = dY É y
0
=
dY
dX
É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ
dY
dX
=
X − Y + (x
0
− y
0
+ 1)
X + Y + (x
0
+ y
0
− 3)
.
÷ÙÂÅÒÅÍ x
0
, y
0
ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÉÓØ ×
ÎÕÌØ. òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ x
0
= 1, y
0
= 2. éÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ
dY
dX
=
X − Y
X + Y
.
14                       §2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

ÇÄÅ x0 É y0 ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ × ÎÏ×ÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÔÁÌÏ
ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ.
                                                      dY
   äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÔÁË ËÁË dx = dX, dy = dY , ÔÏ y 0 = dX . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ
                                                             dY
                      x = X + x0 ,    y = Y + y0 ,    y0 =
                                                             dX
× ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                     dY   a1 X + b1Y + (a1 x0 + b1 y0 + c1 )
                        =                                    .
                     dX   a2 X + b2Y + (a2 x0 + b2 y0 + c2 )
äÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ x0, y0 ÐÏÌÕÞÁÅÍ Ä×Á ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                         
                            a1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 = 0
                            a2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 = 0
                                     a1 b1
ôÁË ËÁË ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÓÉÓÔÅÍÙ – =                6= 0, ÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎ-
                                     a2 b2
ÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
   ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÏ×ÙÈ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÙÈ
                           dY    a1 X + b 1 Y
                               =              .
                           dX    a2 X + b 2 Y
   ðÒÉÍÅÒ 10. îÁÊÔÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                 x−y+1
                            y0 =            .
                                 x+y−3
     òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ
                                          1 −1
                                –=             = 2.
                                          1 1
ðÏÓËÏÌØËÕ – 6= 0, ÔÏ ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ Ó×ÅÓÔÉ Ë ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÍÕ. äÌÑ
ÜÔÏÇÏ ××ÏÄÉÍ ÎÏ×ÙÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ
                            x = X + x0 ,     y = Y + y0 .
                                     dY
ôÏÇÄÁ dx = dX, dy = dY É y 0 =       dX
                                          É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ
                          dY   X − Y + (x0 − y0 + 1)
                             =                       .
                          dX   X + Y + (x0 + y0 − 3)
÷ÙÂÅÒÅÍ x0 , y0 ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÉÓØ ×
ÎÕÌØ. òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ x0 = 1, y0 = 2. éÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ
                             dY    X −Y
                                 =       .
                             dX    X +Y

Страницы