Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

16 §2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ a
2
= λa
1
É b
2
= λb
1
, ÐÏÜÔÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ ×
×ÉÄÅ
y
0
=
a
1
x + b
1
y + c
1
λ(a
1
x + b
1
y) + c
2
.
ôÁËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ
ÐÕÔÅÍ ÚÁÍÅÎÙ
z = a
1
x + b
1
y.
ðÒÉÍÅÒ 11. îÁÊÔÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y
0
=
x + y − 2
−2x − 2y + 3
.
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ – =
1 1
−2 −2
= 0. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ Ë
×ÉÄÕ
y
0
=
(x + y) − 2
−2(x + y) + 3
.
÷×ÏÄÉÍ ÎÏ×ÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ
z = x + y ⇒ y = z − x, y
0
= z
0
− 1.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
z
0
− 1 =
z − 2
−2z + 3
.
ïÔÓÀÄÁ
z
0
=
−z + 1
−2z + 3
.
ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙ-
ÍÉ
dx =
2z − 3
z − 1
dz.
ïÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
x = 2z − ln |z − 1| + ln C,
ÔÁË ËÁË
Z
2z − 3
z − 1
dz =
Z
2 −
1
z − 1
dz = 2z − ln |z − 1|.
ðÏÔÅÎÃÉÒÕÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÏÂÝÅÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
e
x
=
Ce
2z
z − 1
.
üÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÚÁÐÉÛÅÍ × ×ÉÄÅ
e
x
(z − 1) = Ce
2z
.
16                    §2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ a2 = λa1 É b2 = λb1 , ÐÏÜÔÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ ×
×ÉÄÅ
                               a1 x + b 1 y + c 1
                        y0 =                        .
                              λ(a1 x + b1 y) + c2
ôÁËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ
ÐÕÔÅÍ ÚÁÍÅÎÙ
                             z = a1 x + b1y.
  ðÒÉÍÅÒ 11. îÁÊÔÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                  x+y−2
                          y0 =                    .
                                −2x − 2y + 3
                                   1 1
  òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ – =                       = 0. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ Ë
                                  −2 −2
×ÉÄÕ
                                   (x + y) − 2
                           y0 =                 .
                                  −2(x + y) + 3
÷×ÏÄÉÍ ÎÏ×ÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ
                   z = x + y ⇒ y = z − x,         y 0 = z 0 − 1.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                                          z−2
                            z0 − 1 =             .
                                         −2z + 3
ïÔÓÀÄÁ
                                  −z + 1
                              z0 =       .
                                 −2z + 3
ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙ-
ÍÉ
                                 2z − 3
                            dx =        dz.
                                  z−1
ïÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                        x = 2z − ln |z − 1| + ln C,
ÔÁË ËÁË                   Z         
              2z − 3              1
            Z
                     dz =     2−        dz = 2z − ln |z − 1|.
               z−1               z−1
ðÏÔÅÎÃÉÒÕÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÏÂÝÅÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                                         Ce2z
                                  ex =        .
                                         z−1
üÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÚÁÐÉÛÅÍ × ×ÉÄÅ
                            ex (z − 1) = Ce2z .

Страницы