Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ 15
üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ. òÅÛÁÅÍ ÅÇÏ:
Y
X
= u ⇒ Y = uX,
dY
dX
= u + X · u
0
.
ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ Y É
dY
dX
× ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ.
u + Xu
0
=
1 − u
1 + u
.
ïÔÓÀÄÁ
Xu
0
=
1 −u
1 + u
− u ⇒ Xu
0
=
1 − 2u − u
2
1 + u
; Xu
0
= −
u
2
+ 2u − 1
1 + u
.
ðÏÌÕÞÉÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. ðÏÌÁÇÁÑ, ÞÔÏ u
2
+
+ 2u − 1 6= 0, ÒÁÚÄÅÌÉÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ
dX
X
= −
u + 1
u
2
+ 2u − 1
du.
ïÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
Z
dX
X
= −
Z
u + 1
u
2
+ 2u − 1
du + ln |C
1
|, C
1
6= 0.
÷ÙÞÉÓÌÉ× ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
ln |X| = −
1
2
ln |u
2
+ 2u − 1|+ ln |C
1
|.
ðÏÔÅÎÃÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
X =
C
1
√
u
2
+ 2u − 1
.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ×ÍÅÓÔÏ u =
Y
X
, ÐÏÌÕÞÉÍ
X =
C
1
q
Y
X
2
+ 2
Y
X
− 1
.
ðÅÒÅÈÏÄÑ Ë ÓÔÁÒÙÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ
(x − 1) =
C
1
q
y−2
x−1
2
+ 2
y−2
x−1
− 1
.
III. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ
y
0
=
a
1
x + b
1
y + c
1
a
2
x + b
2
y + c
2
ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ
– =
a
1
b
1
a
2
b
2
= 0, Á
c
1
c
2
6=
a
1
a
2
.
§2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ                         15

üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ. òÅÛÁÅÍ ÅÇÏ:
                  Y                  dY
                    = u ⇒ Y = uX,       = u + X · u0 .
                  X                  dX
               dY
ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ Y É dX × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ.
                                     1−u
                           u + Xu0 =     .
                                     1+u
ïÔÓÀÄÁ
          0    1−u              0   1 − 2u − u2          0   u2 + 2u − 1
       Xu =          − u ⇒ Xu =                 ; Xu = −                 .
               1+u                     1+u                      1+u
ðÏÌÕÞÉÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. ðÏÌÁÇÁÑ, ÞÔÏ u 2 +
+ 2u − 1 6= 0, ÒÁÚÄÅÌÉÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ
                             dX         u+1
                                  =− 2           du.
                              X      u + 2u − 1
ïÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                  dX               u+1
                Z           Z
                       =−                  du + ln |C1 |, C1 6= 0.
                   X           u2 + 2u − 1
÷ÙÞÉÓÌÉ× ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
                                 1
                     ln |X| = − ln |u2 + 2u − 1| + ln |C1 |.
                                 2
ðÏÔÅÎÃÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                                         C1
                               X=√                .
                                      u2 + 2u − 1
                          Y
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ×ÍÅÓÔÏ u = X     , ÐÏÌÕÞÉÍ
                                        C1
                         X=q                              .
                                  Y 2        Y
                                                
                                  X     +2   X       −1
ðÅÒÅÈÏÄÑ Ë ÓÔÁÒÙÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ
                                      C1
                    (x − 1) = q                 .
                                y−2 2    y−2
                                            
                                x−1 + 2 x−1 − 1
  III. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ
                               a1 x + b 1 y + c 1
                          y0 =
                               a2 x + b 2 y + c 2
ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ
                          a b                  c1   a1
                    – = 1 1 = 0, Á                6= .
                          a2 b2                c2   a2

Страницы