Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ 13
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ u =
y
x
É ÏÓ×ÏÂÏÖÄÁÑÓØ ÏÔ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ, ÎÁÈÏÄÉÍ
x
2
+ y
2
= C
1
y, ÇÄÅ C
1
=
1
C
ðÏÌÕÞÉÌÉ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ËÒÕÇÏ×, ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ ÏÓÉ Ox × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. ëÒÏÍÅ
ÔÏÇÏ, ÒÅÛÅÎÉÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÑÍÁÑ y = 0.
ðÒÉÍÅÒ 9. ðÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
(x
2
+ y
2
) dx − 2xy dy = 0.
òÅÛÅÎÉÅ. òÁÚÒÅÛÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
dy
dx
.
dy
dx
=
x
2
+ y
2
2xy
ÉÌÉ
dy
dx
=
1 +
y
x
2
2
y
x
¡ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ.
ðÏÌÏÖÉÍ
y
x
= u, y = xu, y
0
= xu
0
+ u. ôÏÇÄÁ
xu
0
+ u =
1 + u
2
2u
⇒ xu
0
=
1 + u
2
− 2u
2
2t
⇒
⇒ xu
0
=
1 − u
2
2u
⇒ u
0
=
1 − u
2
2u
·
1
x
¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ.
2u du
1−u
2
=
dx
x
ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ
−ln |1 − u
2
| = ln |x| − ln C,
ÐÏÔÅÎÃÉÒÕÅÍ
x(1 − u
2
) = C.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ u =
y
x
, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
x
1 −
y
2
x
2
= C ⇒ x
2
− y
2
= Cx
¡ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ.
ïÔ×ÅÔ: x
2
− y
2
= Cx.
II. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
y
0
=
a
1
x + b
1
y + c
1
a
2
x + b
2
y + c
2
,
ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ. ðÕÓÔØ, ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÏÄÎÏ ÉÚ ÞÉÓÅÌ c
1
ÉÌÉ c
2
ÎÅ ÒÁ×ÎÏ ÎÕÌÀ. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ – =
a
1
b
1
a
2
b
2
6= 0, ÔÏ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÐÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÍÕ ÐÕÔÅÍ ××ÅÄÅÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ X,
Y ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ
x = X + x
0
, y = Y + y
0
,
§2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ                         13
                          y
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ u =   x   É ÏÓ×ÏÂÏÖÄÁÑÓØ ÏÔ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ, ÎÁÈÏÄÉÍ
                                               1
                       x2 + y 2 = C1y,    ÇÄÅ C1 =
                                               C
ðÏÌÕÞÉÌÉ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ËÒÕÇÏ×, ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ ÏÓÉ Ox × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. ëÒÏÍÅ
ÔÏÇÏ, ÒÅÛÅÎÉÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÑÍÁÑ y = 0.
   ðÒÉÍÅÒ 9. ðÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                          (x2 + y 2 ) dx − 2xy dy = 0.
                                                         dy
  òÅÛÅÎÉÅ. òÁÚÒÅÛÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ               dx .
                                                                2
                   dy   x2 + y 2          dy   1 + xy
                      =             ÉÌÉ      =
                   dx     2xy             dx      2 xy
¡ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ.
  ðÏÌÏÖÉÍ xy = u, y = xu, y 0 = xu0 + u. ôÏÇÄÁ
                         1 + u2          1 + u2 − 2u2
                 xu0 + u =      ⇒ xu0 =                ⇒
                           2u                 2t
                            1 − u2         1 − u2 1
                   ⇒ xu0 =         ⇒ u0 =         ·
                              2u             2u     x
¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. 2u     du   dx
                                              1−u2 = x ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ

                         − ln |1 − u2 | = ln |x| − ln C,
ÐÏÔÅÎÃÉÒÕÅÍ
                                x(1 − u2 ) = C.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ u = xy , ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                              y2
                                
                      x 1 − 2 = C ⇒ x2 − y 2 = Cx
                              x
¡ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ.
   ïÔ×ÅÔ: x2 − y 2 = Cx.
   II. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                                   a1 x + b 1 y + c 1
                             y0 =                     ,
                                   a2 x + b 2 y + c 2
ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ. ðÕÓÔØ, ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÏÄÎÏ ÉÚ ÞÉÓÅÌ c 1 ÉÌÉ c2
                                                        a b
ÎÅ ÒÁ×ÎÏ ÎÕÌÀ. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ – = 1 1 6= 0, ÔÏ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
                                                        a2 b2
ÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÐÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÍÕ ÐÕÔÅÍ ××ÅÄÅÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ X,
Y ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ
                          x = X + x0 , y = Y + y 0 ,

Страницы