Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

10 §2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
òÅÛÅÎÉÅ. òÁÚÒÅÛÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ
dy
dx
= −
x
y
¡
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ.
y dy = −x dx ⇒
Z
y dy = −
Z
x dx + C ⇒
y
2
2
= −
x
2
2
+ C ⇒ x
2
+ y
2
= 2C.
ðÏÌÕÞÉÌÉ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ É ÒÁÄÉÕÓÏÍ
r =
√
2C. éÔÁË, x
2
+ y
2
= r
2
¡ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
dy
dx
= −
y
x
.
òÅÛÅÎÉÅ.
dy
y
= −
dx
x
⇒
Z
dy
y
= −
Z
dx
x
+ C ⇒ ln |y| = −ln |x|+ ln C
1
⇒
⇒ ln |y| = ln
C
1
x
⇒ y =
C
1
x
, ÇÄÅ ln C
1
= C.
ïÔ×ÅÔ: y =
C
1
x
.
ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y dx + ctg x dy = 0,
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y
π
3
= −1.
òÅÛÅÎÉÅ.
y dx + ctg x dy = 0 ⇒
dx
ctg x
+
dy
y
= 0 ⇒ −ln |cos x| + ln |y| = ln C.
ðÏÔÅÎÃÉÒÕÅÍ
y
cos x
= C ⇒ y = C cos x ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄÅÍ C ÉÚ
ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ.
y
π
3
= C cos
π
3
⇒ C =
−1
1
2
= −2.
y = −2 cos x ¡ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ
ÕÓÌÏ×ÉÀ.
ïÔ×ÅÔ: y = −2 cos x.
2.4. ïÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÐÒÉ-
×ÏÄÑÝÉÅÓÑ Ë ÎÉÍ
I. ïÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÐÒÁ-
×ÁÑ ÞÁÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÏÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×, ÔÏ ÅÓÔØ
y
0
= ϕ
y
x
, (16)
10                     §2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
                                                                    dy
   òÅÛÅÎÉÅ. òÁÚÒÅÛÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ dx             = − xy ¡
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ.
                                            y2      x2
                    Z          Z
  y dy = −x dx ⇒ y dy = − x dx + C ⇒           = − + C ⇒ x2 + y 2 = 2C.
                                             2      2
ðÏÌÕÞÉÌÉ
     √     ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ É ÒÁÄÉÕÓÏÍ
r = 2C. éÔÁË, x2 + y 2 = r2 ¡ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
   ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                   dy    y
                                      =− .
                                   dx    x
   òÅÛÅÎÉÅ.
        dy     dx       dy         dx
                      Z          Z
           =−       ⇒      =−         + C ⇒ ln |y| = − ln |x| + ln C1 ⇒
         y     x         y          x
                               C1       C1
                 ⇒ ln |y| = ln     ⇒y=     , ÇÄÅ ln C1 = C.
                                x        x
   ïÔ×ÅÔ: y = Cx1 .
   ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                              y dx + ctg x dy = 0,
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y π3 = −1.
                                              

   òÅÛÅÎÉÅ.
                              dx     dy
     y dx + ctg x dy = 0 ⇒         +    = 0 ⇒ − ln | cos x| + ln |y| = ln C.
                             ctg x    y
ðÏÔÅÎÃÉÒÕÅÍ cosy x = C ⇒ y = C cos x ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄÅÍ C ÉÚ
ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ.
                        π          π          −1
                      y      = C cos ⇒ C = 1 = −2.
                         3            3          2
y = −2 cos x ¡ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ
ÕÓÌÏ×ÉÀ.
   ïÔ×ÅÔ: y = −2 cos x.

2.4. ïÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÐÒÉ-
     ×ÏÄÑÝÉÅÓÑ Ë ÎÉÍ

   I. ïÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÐÒÁ-
×ÁÑ ÞÁÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÏÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×, ÔÏ ÅÓÔØ
                                   y 
                               0
                              y =ϕ      ,                         (16)
                                    x

Страницы