Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

8 §2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
2.3. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎ-
ÎÙÍÉ
I. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
dy
dx
= f(x), (7)
ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ (Ñ×ÎÏ) ÉÓËÏÍÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ. úÁÐÉÛÅÍ ÅÇÏ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÁÌÏ×
dy = f(x) dx. (8)
ïÔËÕÄÁ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
y =
Z
f(x) dx + C. (9)
ðÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (7). úÁÄÁ×ÁÑÓØ ÎÁÞÁÌØÎÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ
(x
0
, y
0
), ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÅÛÁÀÔÓÑ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ Ñ×ÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ
dy
dx
= f(y) (10)
dx =
dy
f(y)
, ÐÒÉ f(y) 6= 0.
x =
Z
dy
f(y)
+ C. (11)
òÅÛÅÎÉÑ, ÚÁÐÉÓÁÎÎÙÅ × ×ÉÄÅ (9), (11), ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ × Ë×ÁÄÒÁÔÕ-
ÒÁÈ. ðÏÓÌÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y
0
=
1
√
1−x
2
,
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(0) =
π
2
.
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
dy
dx
=
1
√
1 − x
2
⇒ dy =
dx
√
1 − x
2
⇒ y =
Z
dx
√
1 − x
2
+ C ⇒ y = arcsin x + C.
äÁÌÅÅ ÎÁÊÄÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(0) =
π
2
.
π
2
= arcsin 0 + C ⇒ C =
π
2
.
ðÏÌÕÞÁÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ
y = arcsin x +
π
2
.
ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
dy
dx
=
1
√
y
, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ-
×ÉÀ y(0) = 1.
8                     §2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

2.3. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎ-
     ÎÙÍÉ

   I. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
                              dy
                                 = f (x),                      (7)
                              dx
ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ (Ñ×ÎÏ) ÉÓËÏÍÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ. úÁÐÉÛÅÍ ÅÇÏ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÁÌÏ×
                             dy = f (x) dx.                    (8)
ïÔËÕÄÁ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                              Z
                          y = f (x) dx + C.                    (9)

ðÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (7). úÁÄÁ×ÁÑÓØ ÎÁÞÁÌØÎÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ
(x0, y0), ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÅÛÁÀÔÓÑ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ Ñ×ÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ
                                   dy
                                      = f (y)                        (10)
                                   dx
                                dy
                         dx =        , ÐÒÉ f (y) 6= 0.
                               f (y)
                                        dy
                                    Z
                              x=             + C.                    (11)
                                       f (y)
òÅÛÅÎÉÑ, ÚÁÐÉÓÁÎÎÙÅ × ×ÉÄÅ (9), (11), ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ × Ë×ÁÄÒÁÔÕ-
ÒÁÈ. ðÏÓÌÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
                                                                      1
   ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 0 = √1−x       2,
                                 π
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(0) = 2 .
   òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
 dy       1              dx                 dx
                                      Z
     =√        ⇒ dy = √        ⇒y=        √       + C ⇒ y = arcsin x + C.
 dx     1 − x2          1 − x2             1 − x2
äÁÌÅÅ ÎÁÊÄÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(0) = π2 .
                       π                        π
                         = arcsin 0 + C ⇒ C = .
                       2                        2
ðÏÌÕÞÁÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ
                                           π
                            y = arcsin x + .
                                           2
                                          dy
  ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ            =   √1 ,   ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ-
                                          dx         y
×ÉÀ y(0) = 1.

Страницы