ВУЗ:
Рубрика:
40 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решая её, получаем
A = −
3
2
, B =
1
2
, C =
5
2
, D = −1.
Значит
X(p) = −
3
2
·
1
p
+
1
2
·
1
p
2
+
5
2
·
1
p + 1
−
1
p + 2
.
Воспользовавшись данными таблиц 1 и 2, находим решение в виде
x(t) = −
3
2
+
1
2
t +
5
2
e
−t
− e
−2t
.
Пример 52. Решим задачу Коши
x
′′
+ x = 2 cos t, x(0) = 0, x
′
(0) = −1.
Имеем
x(t) → X(p),
x
′
(t) → pX(p) − x(0) = pX(p),
x
′′
(t) → p
2
X(p) − px(0) − x
′
(0) = p
2
X(p) + 1,
cos t →
p
p
2
+ 1
.
Значит
p
2
X(p) + 1 + X(p) =
2p
p
2
+ 1
,
или
X(p) =
2p
(p
2
+ 1)
2
−
1
p
2
+ 1
.
Поскольку
1
p
2
+ 1
← sin t,
2p
(p
2
+ 1)
2
← t sin t,
оригиналом для X(p) служит функция (t − 1) sin t, откуда получаем решение
x(t) = (t − 1) sin t.
5.2.2. Решение задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
операторным методом производится аналогично тому, как решается одно дифференциальное
уравнение. Пусть, например, дана система дифференциальных уравнений второго порядка
n
X
k=1
a
ik
d
2
x
k
dt
2
+ b
ik
dx
k
dt
+ c
ik
x
k
= f
i
(t),
i = 1, 2, . . . , n, где a
ik
, b
ik
, c
ik
— постоянные, и начальные данные
x
k
(0) = α
k
, x
′
k
(0) = β
k
.
Обозначая через X
k
(p) и F
i
(p) изображения функций x
k
(t) и f
i
(t) соответственно, перейдём от
исходной системы к системе уравнений для изображений
n
X
k=1
a
ik
p
2
+ b
ik
p + c
ik
= F
i
(p) +
n
X
k=1
(a
ik
p + b
ik
)α
k
+ a
ik
β
k
,
i = 1, 2, . . . , n. Решая эту систему как линейную алгебраическую систему уравнений относитель-
но X
k
(p), найдём изображения X
k
(p), а затем их оригиналы x
k
(t) для k = 1, 2, . . . , n. Это и будет
решение задачи Коши для исходной системы дифференциальных у равнений.
40 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решая её, получаем
3 1 5
A=− , B= , C= , D = −1.
2 2 2
Значит
3 1 1 1 5 1 1
X(p) = − · + · 2 + · − .
2 p 2 p 2 p+1 p+2
Воспользовавшись данными таблиц 1 и 2, находим решение в виде
3 1 5
x(t) = − + t + e−t − e−2t .
2 2 2
Пример 52. Решим задачу Коши
x′′ + x = 2 cos t, x(0) = 0, x′ (0) = −1.
Имеем
x(t) → X(p),
x′ (t) → pX(p) − x(0) = pX(p),
x′′ (t) → p2 X(p) − px(0) − x′ (0) = p2 X(p) + 1,
p
cos t → 2 .
p +1
Значит
2p
p2 X(p) + 1 + X(p) = ,
p2 +1
или
2p 1
X(p) = − 2 .
(p2 + 1)2 p +1
Поскольку
1 2p
← sin t, ← t sin t,
+1 p2 (p + 1)2
2
оригиналом для X(p) служит функция (t − 1) sin t, откуда получаем решение
x(t) = (t − 1) sin t.
5.2.2. Решение задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
операторным методом производится аналогично тому, как решается одно дифференциальное
уравнение. Пусть, например, дана система дифференциальных уравнений второго порядка
n
X d2 xk dxk
aik 2 + bik + cik xk = fi (t),
dt dt
k=1
i = 1, 2, . . . , n, где aik , bik , cik — постоянные, и начальные данные
xk (0) = αk , x′k (0) = βk .
Обозначая через Xk (p) и Fi (p) изображения функций xk (t) и fi (t) соответственно, перейдём от
исходной системы к системе уравнений для изображений
Xn n
X
aik p2 + bik p + cik = Fi (p) + (aik p + bik )αk + aik βk ,
k=1 k=1
i = 1, 2, . . . , n. Решая эту систему как линейную алгебраическую систему уравнений относитель-
но Xk (p), найдём изображения Xk (p), а затем их оригиналы xk (t) для k = 1, 2, . . . , n. Это и будет
решение задачи Коши для исходной системы дифференциальных уравнений.
