ВУЗ:
Рубрика:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 41
Пример 53. Решим систему уравнений
x
′′
= 3(y −x + z),
y
′′
= x − y,
z
′′
= −z
с начальными данными
x(0) = 0, x
′
(0) = 0,
y(0) = 0, y
′
(0) = −1,
z(0) = 1, z
′
(0) = 0.
Пусть
x(t) → X(p), y(t) → Y (p), z(t) → Z(p).
После преобразования Лапласа система перепишется в виде
p
2
X(p) = 3(Y (p) − X(p) + Z(p)),
p
2
Y (p) + 1 = X(p) − Y (p),
p
2
Z(p) − p = −Z(p).
Решая её относительно неизвестных X(p), Y (p), Z(p), получаем
X(p) =
3(p − 1)
p
2
(p
2
+ 4)
,
Y (p) =
3(p − 1)
p
2
(p
2
+ 1)(p
2
+ 4)
−
1
p
2
+ 1
,
Z(p) =
p
p
2
+ 1
.
Найдём оригиналы этих изображений. Для этого разложим дроби
3(p−1)
p
2
(p
2
+4)
и
3(p−1)
p
2
(p
2
+1)(p
2
+4)
в суммы
элементарных.
Имеем
3(p − 1)
p
2
(p
2
+ 4)
=
A
p
+
B
p
2
+
C
p
2
+ 4
,
откуда
A + C = 0,
B + D = 0,
4A = 3,
4B = −3.
Следовательно,
A =
3
4
, B = −
3
4
, D =
3
4
, C = −
3
4
и
X(p) =
3
4
·
1
p
−
3
4
·
1
p
2
−
3
4
·
p
p
2
+ 4
+
3
4
·
1
p
2
+ 4
.
Находя оригинал для каждого слагаемого, получим
x(t) =
3
4
−
3
4
t −
3
4
cos 2t +
3
8
sin 2t.
Далее положим
3(p − 1)
p
2
(p
2
+ 1)(p
2
+ 4)
=
A
p
+
B
p
2
+
Cp + D
p
2
+ 1
+
Lp + M
p
2
+ 4
,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 41 Пример 53. Решим систему уравнений ′′ x = 3(y − x + z), y ′′ = x − y, ′′ z = −z с начальными данными x(0) = 0, x′ (0) = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = −1, z(0) = 1, z ′ (0) = 0. Пусть x(t) → X(p), y(t) → Y (p), z(t) → Z(p). После преобразования Лапласа система перепишется в виде 2 p X(p) = 3(Y (p) − X(p) + Z(p)), p2 Y (p) + 1 = X(p) − Y (p), 2 p Z(p) − p = −Z(p). Решая её относительно неизвестных X(p), Y (p), Z(p), получаем 3(p − 1) X(p) = , p2 (p2 + 4) 3(p − 1) 1 Y (p) = 2 2 2 − 2 , p (p + 1)(p + 4) p + 1 p Z(p) = 2 . p +1 3(p−1) 3(p−1) Найдём оригиналы этих изображений. Для этого разложим дроби p2 (p2 +4) и p2 (p2 +1)(p2 +4) в суммы элементарных. Имеем 3(p − 1) A B C 2 2 = + 2+ 2 , p (p + 4) p p p +4 откуда A + C = 0, B + D = 0, 4A = 3, 4B = −3. Следовательно, 3 3 3 3 A= , B=− , D= , C=− 4 4 4 4 и 3 1 3 1 3 p 3 1 X(p) =· − · 2− · 2 + · 2 . 4 p 4 p 4 p +4 4 p +4 Находя оригинал для каждого слагаемого, получим 3 3 3 3 x(t) = − t − cos 2t + sin 2t. 4 4 4 8 Далее положим 3(p − 1) A B Cp + D Lp + M = + 2+ 2 + 2 , p2 (p2 2 + 1)(p + 4) p p p +1 p +4