ВУЗ:
Рубрика:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 41
Пример 53. Решим систему уравнений
x
′′
= 3(y −x + z),
y
′′
= x − y,
z
′′
= −z
с начальными данными
x(0) = 0, x
′
(0) = 0,
y(0) = 0, y
′
(0) = −1,
z(0) = 1, z
′
(0) = 0.
Пусть
x(t) → X(p), y(t) → Y (p), z(t) → Z(p).
После преобразования Лапласа система перепишется в виде
p
2
X(p) = 3(Y (p) − X(p) + Z(p)),
p
2
Y (p) + 1 = X(p) − Y (p),
p
2
Z(p) − p = −Z(p).
Решая её относительно неизвестных X(p), Y (p), Z(p), получаем
X(p) =
3(p − 1)
p
2
(p
2
+ 4)
,
Y (p) =
3(p − 1)
p
2
(p
2
+ 1)(p
2
+ 4)
−
1
p
2
+ 1
,
Z(p) =
p
p
2
+ 1
.
Найдём оригиналы этих изображений. Для этого разложим дроби
3(p−1)
p
2
(p
2
+4)
и
3(p−1)
p
2
(p
2
+1)(p
2
+4)
в суммы
элементарных.
Имеем
3(p − 1)
p
2
(p
2
+ 4)
=
A
p
+
B
p
2
+
C
p
2
+ 4
,
откуда
A + C = 0,
B + D = 0,
4A = 3,
4B = −3.
Следовательно,
A =
3
4
, B = −
3
4
, D =
3
4
, C = −
3
4
и
X(p) =
3
4
·
1
p
−
3
4
·
1
p
2
−
3
4
·
p
p
2
+ 4
+
3
4
·
1
p
2
+ 4
.
Находя оригинал для каждого слагаемого, получим
x(t) =
3
4
−
3
4
t −
3
4
cos 2t +
3
8
sin 2t.
Далее положим
3(p − 1)
p
2
(p
2
+ 1)(p
2
+ 4)
=
A
p
+
B
p
2
+
Cp + D
p
2
+ 1
+
Lp + M
p
2
+ 4
,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 41
Пример 53. Решим систему уравнений
′′
x = 3(y − x + z),
y ′′ = x − y,
′′
z = −z
с начальными данными
x(0) = 0, x′ (0) = 0,
y(0) = 0, y ′ (0) = −1,
z(0) = 1, z ′ (0) = 0.
Пусть
x(t) → X(p), y(t) → Y (p), z(t) → Z(p).
После преобразования Лапласа система перепишется в виде
2
p X(p) = 3(Y (p) − X(p) + Z(p)),
p2 Y (p) + 1 = X(p) − Y (p),
2
p Z(p) − p = −Z(p).
Решая её относительно неизвестных X(p), Y (p), Z(p), получаем
3(p − 1)
X(p) = ,
p2 (p2 + 4)
3(p − 1) 1
Y (p) = 2 2 2
− 2 ,
p (p + 1)(p + 4) p + 1
p
Z(p) = 2 .
p +1
3(p−1) 3(p−1)
Найдём оригиналы этих изображений. Для этого разложим дроби p2 (p2 +4) и p2 (p2 +1)(p2 +4) в суммы
элементарных.
Имеем
3(p − 1) A B C
2 2
= + 2+ 2 ,
p (p + 4) p p p +4
откуда
A + C = 0,
B + D = 0,
4A = 3,
4B = −3.
Следовательно,
3 3 3 3
A= , B=− , D= , C=−
4 4 4 4
и
3 1 3 1 3 p 3 1
X(p) =· − · 2− · 2 + · 2 .
4 p 4 p 4 p +4 4 p +4
Находя оригинал для каждого слагаемого, получим
3 3 3 3
x(t) = − t − cos 2t + sin 2t.
4 4 4 8
Далее положим
3(p − 1) A B Cp + D Lp + M
= + 2+ 2 + 2 ,
p2 (p2 2
+ 1)(p + 4) p p p +1 p +4
