ВУЗ:
Рубрика:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 39
Выражение (95) представляет собой изображение решения x(t) уравнения (92). Находя по X(p)
оригинал x(t), мы получим решение задачи Коши для уравнения (92). Если заданы нулевые
начальные условия, т.е.
x
0
= x
′
0
= ··· = x
(n−1)
0
= 0,
то решение уравнения (94) примет вид
X(p) =
F (p)
a
0
p
n
+ a
1
p
n−1
+ ··· + a
n−1
p + a
n
.
Найдя оригинал этого изображения, получим решение задачи Коши уравнения (92) при нулевых
начальных условиях.
Рассмотрим уравнение второго порядка
a
0
d
2
x(t)
dt
2
+ a
1
dx(t)
dt
+ a
2
x(t) = f(t)
с начальными условиями x(0) = x
0
, x
′
(0) = x
′
0
. Тогда, если x(t) → X(p) и f (t) → F (p), то
получаемое уравнение имеет вид
(a
0
p
2
+ a
1
p + a
2
)X(p) − (a
0
px
0
+ a
0
x
′
0
+ a
1
x
0
) = F (p),
откуда
X(p) =
F (p) + a
0
px
0
+ a
0
x
′
0
+ a
1
x
0
a
0
p
2
+ a
1
p + a
2
.
Находя по изображению X(p) оригинал x(t), мы получим решение поставленной задачи Коши.
Пример 51. Решим задачу Коши для уравнения
d
2
x
dt
2
+ 3
dx
dt
+ 2x = t
с начальными условиями x
0
= x
′
0
= 0.
Пусть x(t) → X(p). Тогда
dx
dt
→ pX(p) − x(0) = pX(p),
d
2
x
dt
2
→ p
2
X(p) − px(0) − x
′
(0) = p
2
X(p)
и, поскольку
t →
1
p
2
,
имеем
X(p)(p
2
+ 3p + 2) =
1
p
2
,
т.е.
X(p) =
1
p
2
(p
2
+ 3p + 2)
.
Чтобы найти для этого изображения оригинал, разложим дробь, стоящую в правой части, на
элементарные:
1
p
2
(p
2
+ 3p + 2)
=
A
p
+
B
p
2
+
C
p + 1
+
D
p + 2
,
где A, B, C, D — неопределённые коэффициенты, которые находятся из системы линейных урав-
нений
A + C + D = 0,
3A + B + 2C + D = 0,
A + 3B = 0,
2B = 1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 39
Выражение (95) представляет собой изображение решения x(t) уравнения (92). Находя по X(p)
оригинал x(t), мы получим решение задачи Коши для уравнения (92). Если заданы нулевые
начальные условия, т.е.
(n−1)
x0 = x′0 = · · · = x0 = 0,
то решение уравнения (94) примет вид
F (p)
X(p) = .
a0 pn + a1 pn−1 + · · · + an−1 p + an
Найдя оригинал этого изображения, получим решение задачи Коши уравнения (92) при нулевых
начальных условиях.
Рассмотрим уравнение второго порядка
d2 x(t) dx(t)
a0 + a1 + a2 x(t) = f (t)
dt2 dt
с начальными условиями x(0) = x0 , x′ (0) = x′0 . Тогда, если x(t) → X(p) и f (t) → F (p), то
получаемое уравнение имеет вид
(a0 p2 + a1 p + a2 )X(p) − (a0 px0 + a0 x′0 + a1 x0 ) = F (p),
откуда
F (p) + a0 px0 + a0 x′0 + a1 x0
X(p) = .
a0 p2 + a1 p + a2
Находя по изображению X(p) оригинал x(t), мы получим решение поставленной задачи Коши.
Пример 51. Решим задачу Коши для уравнения
d2 x dx
+3 + 2x = t
dt2 dt
с начальными условиями x0 = x′0 = 0.
Пусть x(t) → X(p). Тогда
dx
→ pX(p) − x(0) = pX(p),
dt
d2 x
→ p2 X(p) − px(0) − x′ (0) = p2 X(p)
dt2
и, поскольку
1
t→ ,
p2
имеем
1
X(p)(p2 + 3p + 2) = ,
p2
т.е.
1
X(p) = .
p2 (p2
+ 3p + 2)
Чтобы найти для этого изображения оригинал, разложим дробь, стоящую в правой части, на
элементарные:
1 A B C D
2 2
= + 2+ + ,
p (p + 3p + 2) p p p+1 p+2
где A, B, C, D — неопределённые коэффициенты, которые находятся из системы линейных урав-
нений
A + C + D = 0,
3A + B + 2C + D = 0,
A + 3B = 0,
2B = 1.
