Дифференциальные уравнения. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 37
1 Линейность αf(t) + βg(t) → αF (p) + βG(p)
2 Теорема подобия f(αt) →
1
α
F
p
α
3 Дифференцирование оригинала f
(n)
(t) → p
n
F (p) −
P
n−1
i=1
p
n−i
f
(i−1)
(0)
4 Дифференцирование изображения (−t)
n
f(t) → F
(n)
(p)
5 Интегрирование оригинала
R
t
0
f(τ) dτ →
F (p)
p
6 Интегрирование изображения
f(t)
t
→
R
∞
p
F (p)
7 Теорема смещения e
p
0
t
f(t) → F (p − p
0
)
8 Теорема запаздывания f (t − τ) → e
−pτ
F (p)
9 Теорема о свёртке
R
t
0
f(τ)ϕ(t − τ ) dτ → F (p) · Φ(p)
Таблица 2. Основные свойства преобразования Лапласа
5.1.4. Нахождение оригинала по изображению
Для нахождения оригинала f(t) по известному изображению F (p) используются свойства пре-
образования Лапласа, сформулированные выше. Для удобства они сведены в таблице 2.
Мы рассмотрим процедуру нахождения оригинала f (t) по известному изображению F (p) в
случае, когда F (p) =
Q(p)
R(p)
есть правильная рациональная дробь
11
. В этом случае дробь раскла-
дывается в сумму простых и у полученных слагаемых находятся оригиналы с использованием
описанных свойств преобразования Лапласа.
Пример 49. Найдём оригинал для функции
F (p) =
1
p(p − 1)(p
2
+ 4)
.
Для этого разложим правую часть в сумму простых дробей:
1
p(p − 1)(p
2
+ 4)
=
A
p
+
B
p − 1
+
Cp + D
p
2
+ 4
.
Из этого равенства следует, что
1 = A(p − 1)(p
2
+ 4) + Bp(p
2
+ 4) + (Cp + D)p(p − 1)
т.е
A + B + C = 0,
A + C −D = 0,
4A + 4B − D = 0,
4A = −1.
Значит,
A = −
1
4
, B =
1
5
, C =
1
20
, D = −
1
5
.
Поэтому
F (p) = −
1
4p
+
1
5
·
1
p − 1
+
1
20
·
p
p
2
+ 4
−
1
5
·
1
p
2
+ 4
.
Оригиналы простых дробей, входящих в эту сумму, суть
1 →
1
p
,
e
t
→
1
p − 1
,
11
Напомним, дробь называется рациональной, если её числитель и знаменатель являются многочленами, а ра-
циональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.
                                   ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ                                          37

          1           Линейность               αf (t) + βg(t) → αF (p) + βG(p)
          2         Теорема подобия                       f (αt) → α1 F αp
                                                                     P
          3  Дифференцирование оригинала  f (n) (t) → pn F (p) − n−1    i=1 p
                                                                              n−i f (i−1) (0)

          4 Дифференцирование изображения                     n
                                                        (−t) f (t) → F (p)(n)
                                                         Rt               F (p)
          5    Интегрирование оригинала                   0 f (τ ) dτ → p
                                                           f (t)    R ∞
          6   Интегрирование изображения                     t → p F (p)
          7        Теорема смещения                    ep0 t f (t) → F (p − p0 )
          8      Теорема запаздывания                  f (t − τ ) → e−pτ F (p)
                                              Rt
          9        Теорема о свёртке             0 f (τ )ϕ(t − τ ) dτ → F (p) · Φ(p)

                      Таблица 2. Основные свойства преобразования Лапласа


  5.1.4. Нахождение оригинала по изображению
  Для нахождения оригинала f (t) по известному изображению F (p) используются свойства пре-
образования Лапласа, сформулированные выше. Для удобства они сведены в таблице 2.
  Мы рассмотрим процедуру нахождения оригинала f (t) по известному изображению F (p) в
случае, когда F (p) = Q(p)                                   11
                      R(p) есть правильная рациональная дробь . В этом случае дробь раскла-
дывается в сумму простых и у полученных слагаемых находятся оригиналы с использованием
описанных свойств преобразования Лапласа.
  Пример 49. Найдём оригинал для функции
                                                1
                                        F (p) =           .
                                         p(p − 1)(p2 + 4)
Для этого разложим правую часть в сумму простых дробей:
                                1           A      B       Cp + D
                                   2
                                         = +           + 2        .
                         p(p − 1)(p + 4)     p   p−1        p +4
Из этого равенства следует, что
                        1 = A(p − 1)(p2 + 4) + Bp(p2 + 4) + (Cp + D)p(p − 1)
т.е                                      
                                         
                                          A + B + C = 0,
                                         
                                         A + C − D = 0,
                                         
                                          4A + 4B − D = 0,
                                         
                                         
                                           4A = −1.
Значит,
                                  1          1             1         1
                               A=− ,       B= ,      C=       ,   D=− .
                                  4          5             20        5
Поэтому
                              1   1    1      1      p  1    1
                          F (p) = −
                                + ·        +     · 2   − · 2   .
                              4p 5 p − 1 20 p + 4 5 p + 4
Оригиналы простых дробей, входящих в эту сумму, суть
                                             1
                                         1→ ,
                                             p
                                               1
                                        et →       ,
                                             p−1
  11Напомним, дробь называется рациональной, если её числитель и знаменатель являются многочленами, а ра-
циональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.

Страницы