Дифференциальные уравнения. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

36 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 46. Найдём изображение функции f (t) = e
−t
cos 2t: так как cos 2t →
p
p
2
+4
, по теореме
смещения (при p
0
= −1) имеем
e
−t
cos 2t →
p + 1
(p + 1)
2
+ 4
.
Теорема запаздывания. Если f (t) → F (p), то для любого положительного числа τ имеет место
соответствие
f(t −τ) → e
−pτ
F (p).
Теоремой запаздывания удобно пользоваться при отыскании изображения функций, которые на
разных участках задаются разными аналитическими выражения ми.
Пример 47. Найдём изображение функции f (t −1) = (t − 1)
2
. Для функции f(t) = t
2
имеем
f(t) →
2
p
2
.
По теореме запаздывания для функции (t − 1)
2
получаем
(t − 1)
2
→ e
−p
2
p
2
.
Заметим, что здесь существенно, что ищется изображение функции f(t−1), равной нулю при t < 1
(t − 1 < 0 по предположению, см. замечание 14).
Теорема умножения Бореля (теорема о свёртке). Пусть
f(t) → F (p), ϕ(t) → Φ(p).
Тогда произведение двух изображений F (p) и Φ(p) также является изображением, причём
t
Z
0
f(τ )ϕ(t − τ) dτ → F (p) · Φ(p). (91)
Интеграл в левой части называется свёрткой функций f (t) и ϕ(t) и обозначается через f(t)∗ϕ(t):
t
Z
0
f(τ )ϕ(t − τ) dτ =
t
Z
0
f(t − τ)ϕ(τ) dτ = ϕ(t) ∗ f(t).
Пример 48. Найдём изображение функции
ψ(t) =
t
Z
0
(t − τ)e
τ
dτ.
Для этого заметим, что функция ψ(t) является свёрткой функций f (t) = t и ϕ(t) = e
t
. По теореме
умножения получаем
ψ(t) → Ψ(p), Ψ(p) = F (p) · Φ(p) =
1
p
2
·
1
p − 1
=
1
p
2
(p − 1)
и, значит,
t
Z
0
(t − τ)e
τ
dτ →
1
p
2
(p − 1)
.
36                                  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

                                                                                                         p
  Пример 46. Найдём изображение функции f (t) = e−t cos 2t: так как cos 2t →                           p2 +4
                                                                                                             ,   по теореме
смещения (при p0 = −1) имеем
                                               p+1
                               e−t cos 2t →              .
                                            (p + 1)2 + 4

Теорема запаздывания. Если f (t) → F (p), то для любого положительного числа τ имеет место
соответствие
                                 f (t − τ ) → e−pτ F (p).
Теоремой запаздывания удобно пользоваться при отыскании изображения функций, которые на
разных участках задаются разными аналитическими выражениями.
     Пример 47. Найдём изображение функции f (t − 1) = (t − 1)2 . Для функции f (t) = t2 имеем
                                                                   2
                                                     f (t) →          .
                                                                   p2
По теореме запаздывания для функции (t − 1)2 получаем
                                                                          2
                                                 (t − 1)2 → e−p              .
                                                                          p2
Заметим, что здесь существенно, что ищется изображение функции f (t−1), равной нулю при t < 1
(t − 1 < 0 по предположению, см. замечание 14).

Теорема умножения Бореля (теорема о свёртке). Пусть
                                          f (t) → F (p),         ϕ(t) → Φ(p).
Тогда произведение двух изображений F (p) и Φ(p) также является изображением, причём
                                     Zt
                                          f (τ )ϕ(t − τ ) dτ → F (p) · Φ(p).                                           (91)
                                     0

Интеграл в левой части называется свёрткой функций f (t) и ϕ(t) и обозначается через f (t) ∗ ϕ(t):
                        Zt                           Zt
                             f (τ )ϕ(t − τ ) dτ =         f (t − τ )ϕ(τ ) dτ = ϕ(t) ∗ f (t).
                         0                           0

     Пример 48. Найдём изображение функции
                                                          Zt
                                               ψ(t) =          (t − τ )eτ dτ.
                                                          0

Для этого заметим, что функция ψ(t) является свёрткой функций f (t) = t и ϕ(t) = et . По теореме
умножения получаем
                                                                                 1    1        1
                    ψ(t) → Ψ(p),           Ψ(p) = F (p) · Φ(p) =                   ·      = 2
                                                                                 p2 p − 1  p (p − 1)
и, значит,
                                          Zt
                                                                            1
                                               (t − τ )eτ dτ →                    .
                                                                    p2 (p    − 1)
                                          0

Страницы