Дифференциальные уравнения. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 35
Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умноже-
нию на −t оригинала:
− tf (t) → F
′
(p) (86)
и
(−t)
n
f(t) → F
(n)
(p), n ∈ N. (87)
Пример 43. Найдём изображение функции
f(t) = t
2
e
t
.
Так как e
t
→
1
p−1
, по теореме о дифференцировании изображения получаем
1
p − 1
′
= −
1
(p − 1)
2
, te
t
→
1
(p − 1)
2
.
Далее имеем
−
1
(p − 1)
2
′
= −
2!
(p − 1)
3
,
откуда следует, что
t
2
e
t
→
2
(p − 1)
3
.
Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на
p: если f (t) → F (p), то
t
Z
0
f(τ) dτ →
F (p)
p
. (88)
Пример 44. Найдём изображение функции
t
R
0
e
τ
dτ. Так как e
t
→
1
p−1
, то по теореме об инте-
грировании оригинала получаем
t
Z
0
e
τ
dτ →
1
p−1
p
=
1
p(p − 1)
.
Интегрирование изображения. Если
∞
R
p
F (p) dp сходится, то он служит изображением функ-
ции
f(t)
t
:
f(t)
t
→
∞
Z
p
F (p) dp. (89)
Пример 45. Найдём изображение функции
sin t
t
. Так как sin t →
1
p
2
+1
, на основании теоремы об
интегрировании изображения имеем
sin t
t
→
∞
Z
p
dτ
τ
2
+ 1
= arctg τ |
∞
p
=
π
2
− arctg p = arcctg p.
Теорема смещения. Если f(t) → F (p), то для любого комплексного числа p
0
выполняется
соответствие
e
p
0
t
f(t) → F (p −p
0
). (90)
                                    ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ                                                       35

Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умноже-
нию на −t оригинала:
                              − tf (t) → F ′ (p)                            (86)
и
                                    (−t)n f (t) → F (n) (p),                  n ∈ N.                               (87)
    Пример 43. Найдём изображение функции
                                                        f (t) = t2 et .
                1
Так как et →   p−1 ,   по теореме о дифференцировании изображения получаем
                                     ′
                                    1          1                1
                                         =−        2
                                                     , tet →          .
                                  p−1       (p − 1)          (p − 1)2
Далее имеем
                                                           ′
                                                  1                       2!
                                           −                      =−            ,
                                               (p − 1)2                (p − 1)3
откуда следует, что
                                                                 2
                                                   t2 et →             .
                                                              (p − 1)3

Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на
p: если f (t) → F (p), то
                               Zt
                                              F (p)
                                  f (τ ) dτ →       .                           (88)
                                                p
                                               0

                                                             Rt                           1
    Пример 44. Найдём изображение функции                         eτ dτ . Так как et →   p−1 ,   то по теореме об инте-
                                                             0
грировании оригинала получаем
                                      Zt                     1
                                                            p−1            1
                                           eτ dτ →                 =            .
                                                             p         p(p − 1)
                                       0


                                                    R∞
Интегрирование изображения. Если                         F (p) dp сходится, то он служит изображением функ-
                                                    p
      f (t)
ции     t :
                                                             Z∞
                                                f (t)
                                                      →           F (p) dp.                                        (89)
                                                  t
                                                             p

  Пример 45. Найдём изображение функции sint t . Так как sin t → p21+1 , на основании теоремы об
интегрировании изображения имеем
                            Z∞
                    sin t        dτ                π
                          →     2
                                    = arctg τ |∞
                                               p =   − arctg p = arcctg p.
                      t        τ +1                2
                                p


Теорема смещения. Если f (t) → F (p), то для любого комплексного числа p0 выполняется
соответствие
                               ep0 t f (t) → F (p − p0 ).                        (90)

Страницы