Дифференциальные уравнения. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 33
Изображение F (p) определено в полуплоскости Re p = s > s
0
и является в этой полуплоскости
аналитической функцией.
Пример 40. Покажем, что функция
f(t) =
(
e
2t
sin 3t при t > 0,
0 при t < 0
является оригиналом. Для этого необходимо проверить выполнение условий 1)–3).
Условие 1) выполняется в силу того, что существует интеграл
t
2
Z
t
1
e
2t
sin 3t dt
для любых конечных t
1
и t
2
. Условие 2) выполняется в силу того, что f (t) = 0 при t < 0. Наконец,
условие 3) тоже выполнено, так как для любых вещественных t верна оценка |e
2t
sin 3t| 6 e
2t
.
Поэтому в качестве M в условии 3) можно взять любое число большее 1, а s
0
= 2.
Заметим, что простейшим оригиналом является так называемая единичная функция Хевисайда
η(t) =
(
1 при t > 0,
0 при t < 0.
Замечание 14. В дальнейшем будем считать все функции f (t) равными нулю при t < 0.
Пример 41. Пользуясь определением, найдём изображение функции
f(t) = e
3t
.
Для функции f(t) = e
3t
имеем s
0
= 3. Значит, изображение F (p) является функцией, аналитиче-
ской в полуплоскости Re p > 3. Найдём F (p) по формуле (82):
F (p) =
+∞
Z
0
e
3t
e
−pt
dt =
+∞
Z
0
e
−(p−3)t
dt =
1
−(p − 3)
e
−(p−3)t
+∞
0
,
Re p = s > 3. Итак, F (p) =
1
p−3
.
5.1.2. Таблица некоторых изображений и их оригиналов
Соответствие между некоторыми изображениями и их оригиналами приведено в табл. 1 на
с. 34.
Везде в таблице n ∈ N, a, α ∈ R.
5.1.3. Свойства преобразования Лапласа
Ниже перечисляются важнейшие свойства преобразования Лапласа, используемые в дальней-
шем.
Свойство линейности. Для любых комплексных постоянных α и β имеет место соответствие
αf(t) + βg(t) → αF (p) + βG(p), (83)
где
f(t) → F (p), g(t) → G(p).
Теорема подобия. Для любого постоянного α > 0 имеем
f(αt) →
1
α
F
p
α
. (84)
                                      ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ                                     33

Изображение F (p) определено в полуплоскости Re p = s > s0 и является в этой полуплоскости
аналитической функцией.
  Пример 40. Покажем, что функция
                                               (
                                                e2t sin 3t       при t > 0,
                                       f (t) =
                                                0                при t < 0
является оригиналом. Для этого необходимо проверить выполнение условий 1)–3).
  Условие 1) выполняется в силу того, что существует интеграл
                                                Zt2
                                                      e2t sin 3t dt
                                                t1

для любых конечных t1 и t2 . Условие 2) выполняется в силу того, что f (t) = 0 при t < 0. Наконец,
условие 3) тоже выполнено, так как для любых вещественных t верна оценка |e2t sin 3t| 6 e2t .
Поэтому в качестве M в условии 3) можно взять любое число большее 1, а s0 = 2.
  Заметим, что простейшим оригиналом является так называемая единичная функция Хевисайда
                                        (
                                         1 при t > 0,
                                 η(t) =
                                         0 при t < 0.
  Замечание 14. В дальнейшем будем считать все функции f (t) равными нулю при t < 0.
  Пример 41. Пользуясь определением, найдём изображение функции
                                                     f (t) = e3t .
Для функции f (t) = e3t имеем s0 = 3. Значит, изображение F (p) является функцией, аналитиче-
ской в полуплоскости Re p > 3. Найдём F (p) по формуле (82):
                           +∞         +∞
                           Z          Z                                                   +∞
                              3t −pt                                     1
                   F (p) =   e e dt =   e−(p−3)t dt =                          e−(p−3)t        ,
                                                                      −(p − 3)            0
                              0                0
                               1
Re p = s > 3. Итак, F (p) =   p−3 .


  5.1.2. Таблица некоторых изображений и их оригиналов
   Соответствие между некоторыми изображениями и их оригиналами приведено в табл. 1 на
с. 34.
   Везде в таблице n ∈ N, a, α ∈ R.

  5.1.3. Свойства преобразования Лапласа
  Ниже перечисляются важнейшие свойства преобразования Лапласа, используемые в дальней-
шем.
Свойство линейности. Для любых комплексных постоянных α и β имеет место соответствие
                                      αf (t) + βg(t) → αF (p) + βG(p),                             (83)
где
                                        f (t) → F (p),       g(t) → G(p).

Теорема подобия. Для любого постоянного α > 0 имеем
                                         1 p
                                 f (αt) → F      .                                                 (84)
                                         α     α

Страницы