Дифференциальные уравнения. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

32 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Таким образом, общее решение уравнения (80) имеет вид
y
1
=
C
1
+
1
30
x +
2
5
x
2
e
3x
+ C
2
e
−2x
+
1
25
cos x −
7
25
sin x.
Выражение для y
2
получается подстановкой y
1
в равенство (79).
Пример 39. Рассмотрим в заключение систему из примера 36, добавив к ней неоднородность:
(
dy
1
dx
= 4y
1
+ y
2
+ e
5x
,
dy
2
dx
= −y
1
+ 2y
2
+ x.
Имеем
y
2
=
dy
1
dx
− 4y
1
− e
5x
(81)
и, следовательно,
d
2
y
1
dx
2
− 6
dy
1
dx
+ 9y
1
= 3e
5x
+ x.
Стандартным способом находим частное решение
3
4
e
5x
+
1
9
x −
2
27
и общее решение в виде
y
1
= (C
0
+ C
1
x)e
3x
+
3
4
e
5x
+
1
9
x −
2
27
.
После этого y
2
находится из (81).
5. Операционное исчисление
Операционное исчисление — мощный метод решения различных задач, возникающ их в при-
кладной математике, технической физике и инженерных дисциплинах.
5.1. Преобразование Лапласа
5.1.1. Основные определения
Преобразованием Лапласа для функции f (t) называется функция F (p) комплексного перемен-
ного p = s + iσ, определяемая равенством
F (p) =
+∞
Z
0
f(t)e
−pt
dt. (82)
При этом f (t) называется оригиналом, а F (p) — изображением. Связь между оригиналом и изоб-
ражением с помощью формулы (82) мы будем записывать символически
f(t) → F (p).
Используются также записи
f(t) : F (p), f(t)
.
←
.
F (p).
В выражении (82) оригиналом f (t) может быть любая комплексная функция действительного
аргумента t, удовлетворяющая условиям
1) f (t) интегрируема на любом конечном интервале;
2) f (t) = 0 при t < 0;
3) при t → +∞ функция f (t) либо остаётся конечной, либо, если растёт по модулю, то не
быстрее экспоненты, то есть существуют некоторые постоянные M > 0 и s
0
> 0 такие, что
|f(t)| 6 Me
s
0
t
для любого t.
32                              ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Таким образом, общее решение уравнения (80) имеет вид
                             1    2                  1          7
                  y1 = C1 + x + x2 e3x + C2 e−2x +       cos x −    sin x.
                             30    5                  25         25
Выражение для y2 получается подстановкой y1 в равенство (79).
     Пример 39. Рассмотрим в заключение систему из примера 36, добавив к ней неоднородность:
                                   (
                                     dy1              5x
                                     dx = 4y1 + y2 + e ,
                                     dy2
                                     dx = −y1 + 2y2 + x.
Имеем
                                             dy1
                                      y2 =       − 4y1 − e5x                            (81)
                                             dx
и, следовательно,
                                  d2 y1    dy1
                                      2
                                        −6     + 9y1 = 3e5x + x.
                                  dx       dx
Стандартным способом находим частное решение
                                         3 5x 1        2
                                           e + x−
                                         4      9     27
и общее решение в виде
                                                    3      1      2
                             y1 = (C0 + C1 x)e3x + e5x + x − .
                                                    4      9     27
После этого y2 находится из (81).


     5. Операционное исчисление
  Операционное исчисление — мощный метод решения различных задач, возникающих в при-
кладной математике, технической физике и инженерных дисциплинах.

     5.1. Преобразование Лапласа
     5.1.1. Основные определения
  Преобразованием Лапласа для функции f (t) называется функция F (p) комплексного перемен-
ного p = s + iσ, определяемая равенством
                                             +∞
                                             Z
                                     F (p) =   f (t)e−pt dt.                            (82)
                                               0
При этом f (t) называется оригиналом, а F (p) — изображением. Связь между оригиналом и изоб-
ражением с помощью формулы (82) мы будем записывать символически
                                          f (t) → F (p).
Используются также записи
                                                          .
                                      f (t) : F (p), f (t)←
                                                          . F (p).
В выражении (82) оригиналом f (t) может быть любая комплексная функция действительного
аргумента t, удовлетворяющая условиям
   1) f (t) интегрируема на любом конечном интервале;
   2) f (t) = 0 при t < 0;
   3) при t → +∞ функция f (t) либо остаётся конечной, либо, если растёт по модулю, то не
      быстрее экспоненты, то есть существуют некоторые постоянные M > 0 и s0 > 0 такие, что
      |f (t)| 6 M es0 t для любого t.

Страницы