Дифференциальные уравнения. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

30 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Характеристический многочлен имеет корень λ = 3 кратности 2. Значит, общее решение имеет
вид
y
1
= (k
11
+ k
12
x)e
3x
, y
2
= (k
21
+ k
22
x)e
3x
.
При этом соотношения между коэффициентами таковы:
k
12
+ k
22
= 0, k
11
+ k
21
= k
12
.
Полагая k
12
= C
1
и k
21
= C
2
, получаем общее решение в виде
y
1
= (C
1
− C
2
+ C
1
x)e
3x
, y
2
= (C
2
− C
1
x)e
3x
.
Аналогичным образом можно построить теорию неоднородных систем линейных уравнений с
постоянными коэффициентами. Мы, однако, опишем альтернативный способ их решения, сводя-
щий решение систем 2 × 2 к решению двух скалярных уравнений второго порядка.
Пусть
(
dy
1
dx
= a
11
y
1
+ a
12
y
2
+ f
1
(x),
dy
2
dx
= a
21
y
1
+ a
22
y
2
+ f
2
(x)
(75)
— система 2 × 2 общего вида. Если коэффициент a
12
равен нулю, то первое уравнение содержит
только одну неизвестную функцию y
1
и его можно разрешить. Подставляя полученное решение
во второе уравнение, мы опять получаем скалярное уравнение первого порядка на функцию y
2
,
которое также решается.
Если a
12
6= 0, то из первого уравнения получаем
y
2
=
dy
1
dx
− a
11
y
1
− f
1
(x)
a
12
. (76)
Подставляя это выражение во второе уравнение и приводя подобные члены, мы получим скаляр-
ное уравнение второго порядка на функцию y
1
:
d
2
y
1
dx
2
− (a
11
+ a
22
)
dy
1
dx
+ (a
11
a
22
− a
12
a
22
)y
1
= a
12
f
2
− a
22
f
1
+ f
′
1
,
которое можно решить уже известными нам методами
10
. Подставляя полученное решение в ра-
венство (76), мы найдём выражение для y
2
, а значит, решим нашу систему.
Пример 37. Рассмотрим систему из примера 34 с нетривиальной правой частью:
(
dy
1
dx
+ 7y
1
− y
2
= x
2
,
dy
2
dx
+ 2y
1
+ 5y
2
= e
x
.
Из первого у равнения следует, что
y
2
=
dy
1
dx
+ 7y
1
− x
2
. (77)
Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем
d
2
y
1
dx
2
+ 12
dy
1
d
x
+ 37y
1
= e
x
+ 5x
2
+ 2x.
Частное решение ищем в виде суммы y
′
+ y
′′
, где
y
′
= C
0
e
x
, y
′′
= C
1
+ C
2
x + C
3
x
2
,
и неопределённые коэффициенты находим из условий
d
2
y
′
dx
2
+ 12
dy
′
dx
+ 37y
′
= e
x
10
Заметим, что характеристический многочлен полученного уравнения совпадает с характеристическим много-
членом исходной системы.
30                                   ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Характеристический многочлен имеет корень λ = 3 кратности 2. Значит, общее решение имеет
вид
                        y1 = (k11 + k12 x)e3x , y2 = (k21 + k22 x)e3x .
При этом соотношения между коэффициентами таковы:
                                      k12 + k22 = 0,         k11 + k21 = k12 .
Полагая k12 = C1 и k21 = C2 , получаем общее решение в виде
                              y1 = (C1 − C2 + C1 x)e3x ,          y2 = (C2 − C1 x)e3x .

  Аналогичным образом можно построить теорию неоднородных систем линейных уравнений с
постоянными коэффициентами. Мы, однако, опишем альтернативный способ их решения, сводя-
щий решение систем 2 × 2 к решению двух скалярных уравнений второго порядка.
  Пусть                        (
                                 dy1
                                 dx = a11 y1 + a12 y2 + f1 (x),                    (75)
                                 dy2
                                 dx = a21 y1 + a22 y2 + f2 (x)
— система 2 × 2 общего вида. Если коэффициент a12 равен нулю, то первое уравнение содержит
только одну неизвестную функцию y1 и его можно разрешить. Подставляя полученное решение
во второе уравнение, мы опять получаем скалярное уравнение первого порядка на функцию y2 ,
которое также решается.
  Если a12 6= 0, то из первого уравнения получаем
                                                   dy1
                                         − a11 y1 − f1 (x)
                                                   dx
                                           y2 =            .                         (76)
                                              a12
Подставляя это выражение во второе уравнение и приводя подобные члены, мы получим скаляр-
ное уравнение второго порядка на функцию y1 :
                 d2 y1                dy1
                     2
                       − (a11 + a22 )     + (a11 a22 − a12 a22 )y1 = a12 f2 − a22 f1 + f1′ ,
                 dx                   dx
которое можно решить уже известными нам методами10 . Подставляя полученное решение в ра-
венство (76), мы найдём выражение для y2 , а значит, решим нашу систему.
     Пример 37. Рассмотрим систему из примера 34 с нетривиальной правой частью:
                                   (
                                     dy1              2
                                     dx + 7y1 − y2 = x ,
                                     dy2               x
                                     dx + 2y1 + 5y2 = e .

Из первого уравнения следует, что
                                        dy1
                                            + 7y1 − x2 .
                                              y2 =                                                     (77)
                                        dx
Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем
                                   d2 y1      dy1
                                       2
                                         + 12     + 37y1 = ex + 5x2 + 2x.
                                   dx         dx
Частное решение ищем в виде суммы y ′ + y ′′ , где
                                   y ′ = C0 ex ,         y ′′ = C1 + C2 x + C3 x2 ,
и неопределённые коэффициенты находим из условий
                                           d2 y ′      dy ′
                                                  + 12      + 37y ′ = ex
                                           dx2         dx
     10Заметим, что характеристический многочлен полученного уравнения совпадает с характеристическим много-
членом исходной системы.

Страницы