Дифференциальные уравнения. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

28 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Итак, рассмотрим однородную систему
(
dy
1
dx
= a
11
y
1
+ a
12
y
2
,
dy
2
dx
= a
21
y
1
+ a
22
y
2
.
(71)
Её характеристический многочлен имеет вид
P (λ) =
a
11
− λ a
12
a
21
a
22
− λ
= λ
2
− (a
11
+ a
22
)λ + a
11
a
22
− a
12
a
21
. (72)
Его дискриминант есть
∆ = (a
11
+ a
22
)
2
− 4(a
11
a
22
− a
12
a
21
) = (a
11
− a
22
)
2
+ 4a
12
a
21
.
Рассмотрим возможные случаи.
Случай 1: ∆ < 0. Пусть λ
1,2
= p ± iq — корни характеристического многочлена. Этим корням
соответствуют два комплексных решения
y
1
= k
1
e
(p+iq)x
= k
1
e
p
(cos qx + i sin qx), y
2
= k
2
e
(p+iq)x
= k
2
e
p
(cos qx + i sin qx)
и
¯y
1
=
¯
k
1
e
(p−iq)x
=
¯
k
1
e
p
(cos qx − i sin qx), ¯y
2
=
¯
k
2
e
(p−iq)x
=
¯
k
2
e
p
(cos qx − i sin qx),
где черта обозначает комплексное сопряжение. Этим комплексным решениям соответствуют два
действительных
y
′
1
=
y
1
+ ¯y
1
2
, y
′
2
=
y
2
+ ¯y
2
2
(73)
и
y
′′
1
=
y
1
− ¯y
1
2i
, y
′′
2
=
y
2
− ¯y
2
2i
. (74)
Пример 34. Рассмотрим систему
(
dy
1
dx
+ 7y
1
− y
2
= 0,
dy
2
dx
+ 2y
1
+ 5y
2
= 0.
Её характеристический многочлен имеет вид
−7 − λ 1
−2 −5 − λ
= λ
2
+ 12λ + 37.
Его корни —
λ
1,2
= −6 ± i.
Значит, существуют решения
y
1
= k
1
e
(−6+i)x
, y
2
= k
2
e
(−6+i)x
и
¯y
1
=
¯
k
1
e
(−6−i)x
, ¯y
2
=
¯
k
2
e
(−6−i)x
.
При этом числа k
1
и k
2
должны удовлетворять уравнению
(λ
1
+ 7)k
1
− k
2
= (1 + i)k
1
− k
2
= 0.
Аналогично,
(λ
2
+ 7)
¯
k
1
−
¯
k
2
= (1 − i)
¯
k
1
−
¯
k
2
= 0.
Поэтому можно положить
k
1
= 1, k
2
= 1 + i,
¯
k
1
= 1,
¯
k
2
= 1 − i.
Этим значениям соответствуют комплексные решения
y
1
= e
(−6+i)x
, y
2
= (1 + i)e
(−6+i)x
и
¯y
1
= e
(−6−i)x
, ¯y
2
= (1 − i)e
(−6−i)x
.
28                                   ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

     Итак, рассмотрим однородную систему
                                    (
                                             dy1
                                             dx    = a11 y1 + a12 y2 ,
                                             dy2                                                           (71)
                                             dx    = a21 y1 + a22 y2 .
Её характеристический многочлен имеет вид
                              a11 − λ   a12
                    P (λ) =                   = λ2 − (a11 + a22 )λ + a11 a22 − a12 a21 .                   (72)
                                a21   a22 − λ
Его дискриминант есть
                     ∆ = (a11 + a22 )2 − 4(a11 a22 − a12 a21 ) = (a11 − a22 )2 + 4a12 a21 .
Рассмотрим возможные случаи.
Случай 1: ∆ < 0. Пусть λ1,2 = p ± iq — корни характеристического многочлена. Этим корням
соответствуют два комплексных решения
           y1 = k1 e(p+iq)x = k1 ep (cos qx + i sin qx),    y2 = k2 e(p+iq)x = k2 ep (cos qx + i sin qx)
и
         ȳ1 = k̄1 e(p−iq)x = k̄1 ep (cos qx − i sin qx), ȳ2 = k̄2 e(p−iq)x = k̄2 ep (cos qx − i sin qx),
где черта обозначает комплексное сопряжение. Этим комплексным решениям соответствуют два
действительных
                                                  y1 + ȳ1          y2 + ȳ2
                                          y1′ =            , y2′ =                                         (73)
                                                      2                2
и
                                                  y1 − ȳ1          y2 − ȳ2
                                          y1′′ =           , y2′′ =          .                             (74)
                                                     2i                2i
  Пример 34. Рассмотрим систему
                                               (
                                                 dy1
                                                 dx + 7y1 − y2 = 0,
                                                 dy2
                                                 dx + 2y1 + 5y2 = 0.
Её характеристический многочлен имеет вид
                                      −7 − λ   1
                                                    = λ2 + 12λ + 37.
                                       −2    −5 − λ
Его корни —
                                                   λ1,2 = −6 ± i.
Значит, существуют решения
                                      y1 = k1 e(−6+i)x ,    y2 = k2 e(−6+i)x
и
                             ȳ1 = k̄1 e(−6−i)x , ȳ2 = k̄2 e(−6−i)x .
При этом числа k1 и k2 должны удовлетворять уравнению
                                    (λ1 + 7)k1 − k2 = (1 + i)k1 − k2 = 0.
Аналогично,
                                    (λ2 + 7)k̄1 − k̄2 = (1 − i)k̄1 − k̄2 = 0.
Поэтому можно положить
                               k1 = 1,    k2 = 1 + i,        k̄1 = 1,    k̄2 = 1 − i.
Этим значениям соответствуют комплексные решения
                                    y1 = e(−6+i)x ,     y2 = (1 + i)e(−6+i)x
и
                                    ȳ1 = e(−6−i)x ,    ȳ2 = (1 − i)e(−6−i)x .

Страницы