Дифференциальные уравнения. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 27
Случай 2: q = n
2
. Если величина q имеет вид n
2
для какого-нибудь натурального n, то решение
представляется в виде
y =
a
0
2n
2
+
X
k6=n
a
k
n
2
− k
2
cos kt +
b
k
n
2
− k
2
sin kt
− t
b
n
2n
cos nt + t
a
n
2n
sin nt.
Таким образом, на частоте n возникает резонанс.
На этом эффекте основана спектроскопия: если известна собственная частота колебаний систе-
мы (измерительного прибора) и на неё направлено внешнее воздействие (например, свет), то при
наличии в этом воздействии известной частоты возникает резонанс.
4.2. Системы линейных уравнений
Мы будем считать, что рассматриваемые системы являются системами первого порядка (см. за-
мечание 8) и разрешены относительно старшей (т.е. первой) производной. Иначе говоря, мы будем
рассматривать системы вида
dy
1
dx
= a
11
y
1
+ a
12
y
2
+ ··· + a
1n
y
n
+ f
1
(x),
dy
2
dx
= a
21
y
1
+ a
22
y
2
+ ··· + a
2n
y
n
+ f
2
(x),
. . . .
dy
n
dx
= a
n1
y
1
+ a
n2
y
2
+ ··· + a
nn
y
n
+ f
n
(x),
(68)
где a
ij
∈ R — постоянные. Если все функции f
1
, . . . , f
n
равны нулю, система называется однород-
ной, в противном случае она называется неоднородной.
Как и в случае скалярных уравнений, решение линейных систем с постоянными коэффициента-
ми сводится к нахождению общего решения однородной системы и отысканию частного решения
неоднородной. Решения однородной ищут в виде
y = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) = (γ
1
e
λx
, γ
2
e
λx
, . . . , γ
n
e
λx
), γ
1
, γ
2
, . . . , γ
n
, λ ∈ R. (69)
Подставляя выражения (69 ) в однородную систему (68), получаем
λγ
1
e
λx
= a
11
γ
1
e
λx
+ a
12
γ
2
+ ··· + a
1n
γ
n
e
λx
,
λγ
2
e
λx
= a
21
γ
1
e
λx
+ a
22
γ
2
+ ··· + a
2n
γ
n
e
λx
,
. . . .
λγ
n
e
λx
= a
n1
γ
1
e
λx
+ a
n2
γ
2
+ ··· + a
nn
γ
n
e
λx
,
или
(a
11
− λ)γ
1
+ a
12
γ
2
+ ··· + a
1n
γ
n
= 0,
a
21
γ
1
+ (a
22
− λ)γ
2
+ ··· + a
2n
γ
n
= 0,
. . . .
a
n1
γ
1
+ a
n2
γ
2
+ ··· + (a
nn
− λ)γ
n
= 0,
т.е. однородную систему линейных уравнений на коэффициенты γ
1
, . . . , γ
n
. Чтобы эта система
имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы её определитель равнялся нулю, т.е.
a
11
− λ a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
− λ . . . a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
− λ
= 0. (70)
Этот определитель является многочленом степени n относительно λ и называется характеристи-
ческим многочленом системы. Его корни определяют решения однородной системы. В дальней-
шем мы ограничимся рассмотрением систем 2 × 2.
                                         ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ                                                   27

Случай 2: q = n2 . Если величина q имеет вид n2 для какого-нибудь натурального n, то решение
представляется в виде
                  a0  X  ak                    bk               bn         an
            y= 2+                   cos kt +          sin kt   − t cos nt + t sin nt.
                 2n        n2 − k 2          n2 − k 2             2n         2n
                             k6=n

Таким образом, на частоте n возникает резонанс.
  На этом эффекте основана спектроскопия: если известна собственная частота колебаний систе-
мы (измерительного прибора) и на неё направлено внешнее воздействие (например, свет), то при
наличии в этом воздействии известной частоты возникает резонанс.



  4.2. Системы линейных уравнений
  Мы будем считать, что рассматриваемые системы являются системами первого порядка (см. за-
мечание 8) и разрешены относительно старшей (т.е. первой) производной. Иначе говоря, мы будем
рассматривать системы вида
                          dy1
                         
                         
                           dx = a11 y1 + a12 y2 + · · · + a1n yn + f1 (x),
                          dy2 = a y + a y + · · · + a y + f (x),
                            dx     21 1     22 2             2n n    2
                                                                                          (68)
                         
                          . . . .
                         
                          dyn
                             dx = an1 y1 + an2 y2 + · · · + ann yn + fn (x),

где aij ∈ R — постоянные. Если все функции f1 , . . . , fn равны нулю, система называется однород-
ной, в противном случае она называется неоднородной.
  Как и в случае скалярных уравнений, решение линейных систем с постоянными коэффициента-
ми сводится к нахождению общего решения однородной системы и отысканию частного решения
неоднородной. Решения однородной ищут в виде
               y = (y1 , y2 , . . . , yn ) = (γ1 eλx , γ2 eλx , . . . , γn eλx ),   γ1 , γ2 , . . . , γn , λ ∈ R.   (69)
Подставляя выражения (69) в однородную систему (68), получаем
                      
                      
                       λγ1 eλx = a11 γ1 eλx + a12 γ2 + · · · + a1n γn eλx ,
                      
                      λγ eλx = a γ eλx + a γ + · · · + a γ eλx ,
                             2     21 1         22 2             2n n
                      
                      
                       . . . .
                      
                        λγn eλx = an1 γ1 eλx + an2 γ2 + · · · + ann γn eλx ,
или                                 
                                    
                                     (a11 − λ)γ1 + a12 γ2 + · · · + a1n γn = 0,
                                    
                                    a γ + (a − λ)γ + · · · + a γ = 0,
                                        21 1     22        2          2n n
                                    
                                     . . . .
                                    
                                    
                                      an1 γ1 + an2 γ2 + · · · + (ann − λ)γn = 0,
т.е. однородную систему линейных уравнений на коэффициенты γ1 , . . . , γn . Чтобы эта система
имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы её определитель равнялся нулю, т.е.
                                        a11 − λ    a12    ...     a1n
                                          a21    a22 − λ . . .    a2n
                                                                        = 0.                                        (70)
                                        ...............................
                                          an1      an2    . . . ann − λ
Этот определитель является многочленом степени n относительно λ и называется характеристи-
ческим многочленом системы. Его корни определяют решения однородной системы. В дальней-
шем мы ограничимся рассмотрением систем 2 × 2.

Страницы