Дифференциальные уравнения. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 25
= (3b
1
+ b
0
+ b
1
x)e
x
+ (2b
1
+ b
0
+ b
1
x)e
x
= (5b
1
+ 2b
0
+ 2b
1
x)e
x
и, значит,
(
5b
1
+ 2b
0
= 0,
2b
1
= 3.
Таким образом,
y
2
= e
x
3
2
x −
15
4
.
Следовательно, общее решение рассматриваемого уравнения имеет вид
y = C
1
e
−x
+ C
2
+ C
3
x
| {z }
общее решение однородного
+
3
2
x
2
−
1
3
x
3
+
1
12
x
4
+ e
x
3
2
x −
15
4
| {z }
частное решение неоднородного
,
где C
1
, C
2
, C
3
— произвольные постоянные.
Пример 31. Рассмотрим у равнение
y
′′
− y = e
x
x cos x.
Числа λ = 1 ± i не являются корнями характеристического многочлена P (λ) = λ
2
−1, и поэтому
частное решение следует искать в виде
y = e
x
(a
0
+ a
1
x) cos x + (b
0
+ b
1
x) sin x
.
Подставляя это выражение в исходное уравнение, получаем
e
x
x cos x =
e
x
(a
0
+ a
1
x) cos x + (b
0
+ b
1
x) sin x
′′
−
e
x
(a
0
+ a
1
x) cos x + (b
0
+ b
1
x) sin x
=
= e
x
2a
1
+ 2b
0
+ 2b
1
− a
0
+ (2b
1
− a
1
)x
cos x +
2b
1
− 2a
0
− 2a
1
− b
0
− (2a
1
+ b
1
)x
sin x
.
Следовательно,
2a
1
+ 2b
0
+ 2b
1
− a
0
= 0,
2b
1
− a
1
= 1,
2b
1
− 2a
0
− 2a
1
− b
0
= 0,
2a
1
− b
1
= 0,
откуда вытекает, что
a
1
= −
1
5
, b
1
=
2
5
, a
0
=
14
25
, b
0
=
2
25
.
Значит, общее решение исходного уравнения имеет вид
y = C
1
e
x
+ C
2
e
−1
| {z }
общее решение однородного
+ e
x
−
1
5
x +
14
25
cos x +
2
5
x +
2
25
sin x
| {z }
частное решение неоднородного
.
Пример 32. Рассмотрим вновь уравнение упругих колебаний без сопротивления (см. пример 26),
но при наличии периодической возмущающей внешней силы. Это уравнение имеет вид
d
2
x
dt
2
+ a
2
x = p sin ωt, (65)
где a, p и ω — постоянные. Корнями характеристического многочлена являются λ
1,2
= ±ai, и
поэтому возможны два случая.
Случай 1: ω 6= a. Это означает, что частота возмущающей силы не равна частоте собственных
колебаний системы. Частное решение должно иметь вид
x = α cos ωt + β sin ωt.
Подставляя это выражение в у равнение (65), получаем
α = 0, β =
p
a
2
− ω
2
.
                                  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ                                              25

                                    = (3b1 + b0 + b1 x)ex + (2b1 + b0 + b1 x)ex = (5b1 + 2b0 + 2b1 x)ex
и, значит,                                 (
                                               5b1 + 2b0 = 0,
                                               2b1 = 3.
Таким образом,
                                                    3
                                                   15 
                                          y2 = ex       .x−
                                                2   4
Следовательно, общее решение рассматриваемого уравнения имеет вид
                                              3   1        1    3 15 
                y = C1 e−x + C2 + C3 x + x2 − x3 + x4 + ex x −         ,
                      |        {z        }    2
                                              |   3       12 {z  2  4 }
                    общее решение однородного
                                                         частное решение неоднородного
где C1 , C2 , C3 — произвольные постоянные.
  Пример 31. Рассмотрим уравнение
                                          y ′′ − y = ex x cos x.
Числа λ = 1 ± i не являются корнями характеристического многочлена P (λ) = λ2 − 1, и поэтому
частное решение следует искать в виде
                                                                       
                           y = ex (a0 + a1 x) cos x + (b0 + b1 x) sin x .
Подставляя это выражение в исходное уравнение, получаем
                                                     ′′  x                                     
 ex x cos x = ex (a0 + a1 x) cos x + (b0 + b1 x) sin x    − e (a0 + a1 x) cos x + (b0 + b1 x) sin x =
                                                                                                   
          x
      =e      2a1 + 2b0 + 2b1 − a0 + (2b1 − a1 )x cos x + 2b1 − 2a0 − 2a1 − b0 − (2a1 + b1 )x sin x .
Следовательно,                       
                                     
                                      2a1 + 2b0 + 2b1 − a0 = 0,
                                     
                                     2b − a = 1,
                                         1    1
                                     2b1 − 2a0 − 2a1 − b0 = 0,
                                     
                                     
                                     
                                       2a1 − b1 = 0,
откуда вытекает, что
                                      1         2     14           2
                             a1 = − , b1 = , a0 = , b0 = .
                                      5         5     25          25
Значит, общее решение исходного уравнения имеет вид
                                                 1   14            2 2      
             y=       C1 ex + C2 e−1       + ex − x +      cos x + x +    sin x .
                      |     {z      }
                                             |    5   25     {z      5 25      }
                 общее решение однородного
                                                         частное решение неоднородного

  Пример 32. Рассмотрим вновь уравнение упругих колебаний без сопротивления (см. пример 26),
но при наличии периодической возмущающей внешней силы. Это уравнение имеет вид
                                   d2 x
                                        + a2 x = p sin ωt,                          (65)
                                   dt2
где a, p и ω — постоянные. Корнями характеристического многочлена являются λ1,2 = ±ai, и
поэтому возможны два случая.
Случай 1: ω 6= a. Это означает, что частота возмущающей силы не равна частоте собственных
колебаний системы. Частное решение должно иметь вид
                                        x = α cos ωt + β sin ωt.
Подставляя это выражение в уравнение (65), получаем
                                                              p
                                       α = 0,        β=             .
                                                           a2 − ω 2

Страницы