Дифференциальные уравнения. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 23
Значит, общее решение записывается в виде
y = C
1
e
−x
+ e
x
2
C
2
cos
√
3
2
x + C
3
sin
√
3
2
x
.
Комплексный корень корень кратности m. Если характеристический многочлен имеет ком-
плексный корень λ = p + iq кратности m (а значит, и корень
¯
λ = p − iq той же кратности), то
этой паре соответствует множество решений
y = e
px
(C
0
+ C
1
x + ··· + C
m−1
x
m−1
) cos qx + (C
′
0
+ C
′
1
x + ··· + C
′
m−1
x
m−1
) sin qx
=
= e
px
A
0
sin(qx + δ
0
) + A
1
x sin(qx + δ
1
) + ··· + A
m−1
x
m−1
sin(qx + δ
m−1
)
.
Пример 29. Рассмотрим уравнение
y
IV
− 4y
′′′
+ 8y
′′
− 8y
′
+ 4y = 0.
Его характеристический многочлен
P (λ) = λ
4
− 4λ
3
+ 8λ2 − 8λ + 4 = (λ
2
− 2λ + 2)
2
имеет корни λ
1,2
= 1 ±i кратности 2. Следовательно, общее решение имеет вид
y = e
x
(C
0
+ C
1
x) cos x + (C
′
0
+ C
′
1
x) sin x
.
В общем виде описанные выше результаты можно представить следующим образом.
Теорема 2. Пусть характеристический многочлен у равнения
y
(k)
+ a
k−1
y
(k−1)
+ ··· + a
1
y
′
+ a
0
y = 0 (62)
имеет различные вещественные корни λ
1
, . . . , λ
s
кратностей l
1
, . . . , l
s
соответственно и комплекс-
ные корни µ
1
= p
1
± iq
1
, . . . , µ
n
= p
n
± iq
n
кратностей m
1
, . . . , m
n
, где
l
1
+ ··· + l
s
+ 2(m
1
+ ··· + m
n
) = k.
Тогда общее решение уравнения (62) имеет вид
y = F
1
+ ··· + F
s
+ G
1
+ ··· + G
n
,
где
F
i
= e
λ
i
x
(C
i
0
+ C
i
1
x + ··· + C
i
l
i
−1
x
l
i
−1
)
и
G
j
= e
p
j
x
(D
j
0
+ D
j
1
x + ··· + D
m
j
−1
x
m
j
−1
) cos q
j
x + (E
j
0
+ E
j
1
x + ··· + E
m
j
−1
x
m
j
−1
) sin q
j
x
.
4.1.2. Неоднородные уравнения
При решении неоднородных уравнений мы будем пользоваться предложением 3, из которого
следует, что общее решение такого уравнения складывается из какого-нибудь его частного ре-
шения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Мы укажем, как находить
частные решения уравнения
y
(k)
+ a
k−1
y
(k−1)
+ ··· + a
1
y
′
+ a
0
y = f(x) (63)
в случае, когда правая часть имеет один из следующих видов
P
r
(x)e
λx
, e
px
(P
r
(x) sin qx + Q
r
(x) cos qx), (64)
где P
r
(x) и Q
r
(x) — произвольные многочлены степени r.
                                        ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ                                                     23

Значит, общее решение записывается в виде
                                                                 √             √
                                            −x        x           3              3 
                                   y = C1 e      +e   2   C2 cos    x + C3 sin    x .
                                                                 2              2

Комплексный корень корень кратности m. Если характеристический многочлен имеет ком-
плексный корень λ = p + iq кратности m (а значит, и корень λ̄ = p − iq той же кратности), то
этой паре соответствует множество решений
                                                                                             
  y = epx (C0 + C1 x + · · · + Cm−1 xm−1 ) cos qx + (C0′ + C1′ x + · · · + Cm−1
                                                                            ′
                                                                                xm−1 ) sin qx =
                                                                                                     
                      = epx A0 sin(qx + δ0 ) + A1 x sin(qx + δ1 ) + · · · + Am−1 xm−1 sin(qx + δm−1 ) .
    Пример 29. Рассмотрим уравнение
                                          y IV − 4y ′′′ + 8y ′′ − 8y ′ + 4y = 0.
Его характеристический многочлен
                               P (λ) = λ4 − 4λ3 + 8λ2 − 8λ + 4 = (λ2 − 2λ + 2)2
имеет корни λ1,2 = 1 ± i кратности 2. Следовательно, общее решение имеет вид
                                                                         
                           y = ex (C0 + C1 x) cos x + (C0′ + C1′ x) sin x .

    В общем виде описанные выше результаты можно представить следующим образом.
    Теорема 2. Пусть характеристический многочлен уравнения
                                     y (k) + ak−1 y (k−1) + · · · + a1 y ′ + a0 y = 0                              (62)
имеет различные вещественные корни λ1 , . . . , λs кратностей l1 , . . . , ls соответственно и комплекс-
ные корни µ1 = p1 ± iq1 , . . . , µn = pn ± iqn кратностей m1 , . . . , mn , где
                                       l1 + · · · + ls + 2(m1 + · · · + mn ) = k.
Тогда общее решение уравнения (62) имеет вид
                                        y = F1 + · · · + Fs + G1 + · · · + Gn ,
где
                                      Fi = eλi x (C0i + C1i x + · · · + Clii −1 xli −1 )
и
                                                                                                                  
      Gj = epj x (D0j + D1j x + · · · + Dmj −1 xmj −1 ) cos qj x + (E0j + E1j x + · · · + Emj −1 xmj −1 ) sin qj x .

    4.1.2. Неоднородные уравнения
  При решении неоднородных уравнений мы будем пользоваться предложением 3, из которого
следует, что общее решение такого уравнения складывается из какого-нибудь его частного ре-
шения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Мы укажем, как находить
частные решения уравнения
                                   y (k) + ak−1 y (k−1) + · · · + a1 y ′ + a0 y = f (x)                            (63)
в случае, когда правая часть имеет один из следующих видов
                                   Pr (x)eλx ,    epx (Pr (x) sin qx + Qr (x) cos qx),                             (64)
где Pr (x) и Qr (x) — произвольные многочлены степени r.

Страницы