Дифференциальные уравнения. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

22 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
и, таким образом, паре простых комплексно-сопряжённых корней λ ±iq соответствует двумерное
пространство решений
y = e
px
(C
1
cos qx + C
2
sin qx),
где C
1
и C
2
∈ R — произвольные постоянные.
Пример 26 (свободные гармонические колебания). Уравнение свободных гармонических коле-
баний имеет вид
d
2
x
dt
2
+ a
2
x = 0, a ∈ R.
С этим уравнением мы уже сталкивались выше (см. пример 4). Рассмотрим его с точки зрения
общей теории.
Характеристический многочлен
P (λ) = λ
2
+ a
2
x
имеет два комплексных корня λ
1,2
= ±ia и, значит, общее решение имеет вид
x = C
1
cos at + C
2
sin at.
Вводя величину A =
p
C
2
1
+ C
2
2
и угол δ = arctg
C
1
C
2
, решение можно переписать в виде
x = A sin(at + δ).
Величина A называется амплитудой колебаний, a — частотой, а δ — начальной фазой. Период
колебаний есть
T =
2π
a
,
а количество колебаний в единицу времени —
ν =
a
2π
.
Пример 27 (свободные упругие колебания при наличии сопротивления). Такие колебания опи-
сываются уравнением
d
2
x
dt
2
+ 2b
dx
dt
+ a
2
x = 0,
где сила сопротивления определяется вторым слагаемым. Считая, что коэффициент сопротивле-
ния b не слишком велик (достаточно считать, что b < a) и решая уравнение
P (λ) = λ
2
+ 2bλ + a
2
= 0,
находим два комплексных корня
λ
1,2
= −b ± i
p
a
2
−b
2
и соответствующ ее решение уравнения колебаний
x = e
bt
(C
1
cos
p
a
2
− b
2
t + C
2
sin
p
a
2
− b
2
t),
или
x = Ae
−bt
sin(
p
a
2
− b
2
t + δ).
Итак, при наличии сопротивления колебания являются затухающими.
Пример 28. Если характеристический многочлен имеет и действительные, и комплексные кор-
ни, общее решение строится в виде комбинации решений, соответствующих каждому из корней.
Рассмотрим уравнение
y
′′′
+ y = 0.
Корнями его характеристического многочлена являются
λ
1
= −1, λ
2,3
=
1
2
± i
√
3
2
.
22                                       ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

и, таким образом, паре простых комплексно-сопряжённых корней λ ± iq соответствует двумерное
пространство решений
                                 y = epx (C1 cos qx + C2 sin qx),
где C1 и C2 ∈ R — произвольные постоянные.
  Пример 26 (свободные гармонические колебания). Уравнение свободных гармонических коле-
баний имеет вид
                                d2 x
                                     + a2 x = 0,    a ∈ R.
                                dt2
С этим уравнением мы уже сталкивались выше (см. пример 4). Рассмотрим его с точки зрения
общей теории.
  Характеристический многочлен
                                     P (λ) = λ2 + a2 x
имеет два комплексных корня λ1,2 = ±ia и, значит, общее решение имеет вид
                                             x = C1 cos at + C2 sin at.
                     p                                      C1
Вводя величину A =       C12   +   C22   и угол δ = arctg   C2 ,   решение можно переписать в виде
                                                 x = A sin(at + δ).
Величина A называется амплитудой колебаний, a — частотой, а δ — начальной фазой. Период
колебаний есть
                                             2π
                                         T =    ,
                                              a
а количество колебаний в единицу времени —
                                              a
                                         ν=     .
                                             2π
  Пример 27 (свободные упругие колебания при наличии сопротивления). Такие колебания опи-
сываются уравнением
                                   d2 x       dx
                                       2
                                         + 2b    + a2 x = 0,
                                    dt        dt
где сила сопротивления определяется вторым слагаемым. Считая, что коэффициент сопротивле-
ния b не слишком велик (достаточно считать, что b < a) и решая уравнение
                                            P (λ) = λ2 + 2bλ + a2 = 0,
находим два комплексных корня                              p
                                              λ1,2 = −b ± i a2 − b2
и соответствующее решение уравнения колебаний
                                       p                  p
                        x = ebt (C1 cos a2 − b2 t + C2 sin a2 − b2 t),
или                                                      p
                                           x = Ae−bt sin( a2 − b2 t + δ).
Итак, при наличии сопротивления колебания являются затухающими.
  Пример 28. Если характеристический многочлен имеет и действительные, и комплексные кор-
ни, общее решение строится в виде комбинации решений, соответствующих каждому из корней.
Рассмотрим уравнение
                                        y ′′′ + y = 0.
Корнями его характеристического многочлена являются
                                                                   √
                                                               1     3
                                            λ1 = −1,   λ2,3   = ±i     .
                                                               2    2

Страницы